模态逻辑的诸后承关系之比较.doc

模态逻辑的诸后承关系之比较 李小五 中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系，广州，510275 摘要：中图分类号： 文献标识码： A 1 语义后承之间的比较 我们先来考虑语义后承关系。任给集合X，我们用P(X)表示X的幂集。 本文我们总用(表示R或N，其中R和N分别指称关系语义和邻域语义。 1.1定义 (1) 称F＝〈W，(〉是(-框架，记作F∈(F，( 下列条件满足： ① W是非空集，其中的元素称为可能世界，且 ② 若(是R，则R是W上的二元关系。 若(是N，则N是从W到P(P(W))中的映射。 (2) 称M＝〈W，(，［ ］〉是(-模型，记作M∈(M，(下列条件满足： ① 〈W，(〉是(-框架，且 ② ［ ］是从At到P(W)中的映射。 (3) 复合公式在M中的真值集定义如下： ① ［(A］＝W－［A］， ② ［A∧B］＝［A］∩［B］， ③ 若(是R，则［□A］＝｛w∈W：R(w)(［A］｝，其中R(x)表示｛y∈W：xRy｝。 若(是N，则［□A］＝｛w∈W：［A］∈N(w)｝。 (4) 设M＝〈W，(，［ ］〉，F＝〈W，(〉。我们称M是F的模型，F是M的框架。( 若(是R，则称(-框架(模型)为关系框架(模型)；若(是N，则称(-框架(模型)为邻域框架(模型)。 1.2 约定 (1) w∈M表示w属于M的可能世界集。 (2) 令M＝〈W，(，［ ］〉， ① w?A表示：w∈［A］。 ② w?Φ或w∈［Φ］表示：对每一A∈Φ，w?A。( 1.3 定义 任给M＝〈W，*，［ ］〉。 (1) 称A在M中有效，记作M?A，(［A］＝W。 (2) 称Φ在M中有效，记作M?Φ，( 对每一A∈Φ，M?A。 (3) 称Φ逐(-点衍推A，记作Φ?*A，( 对每一M∈(M和w∈M (w?Φ( w?A)。 (4) 称Φ逐(-模型衍推A，记作Φ?*M A，( 对每一M∈(M (M?Φ( M?A)。( (3)和(4)中定义的关系和下面我们要定义的同类关系都称为后承关系，它们都是定义在P(FL)(FL上的二元关系。以后我们也集合论地看待后承关系，即考虑它们之间的（真）包含关系和等于关系（互为包含关系）。 1.4 定义 (1) 称A在(-框架F中有效，记作F?A，( 对F的任意模型M，M?A。 (2) 称Φ在(-框架F中有效，记作F?Φ，( 对每一A∈Φ，F?A。 (3) 称Φ逐(-框架衍推A，记作Φ?*F A，( 对每一框架F∈(F (F?Φ( F?A)。( 1.5 定义 令C是(-模型的类或(-框架的类。 (1) 称A在C中有效，记作C?A，( 对所有X∈CF，X?A。 (2) 称Φ在C中有效，记作C?Φ，( 对所有A∈Φ，C?A。 (3) 称Φ相对C衍推A，记作Φ?CA，( (C?Φ( C?A)。( 1.6 定义 (1) 称Φ逐(-模型类衍推A ，记作Φ?* CM A， ( (对所有(-模型的类C，C?Φ( C?A)。( (2) 称Φ逐(-框架类衍推A ，记作Φ?*CF A， ( (对所有(-框架的类C，C?Φ( C?A)。( 说明：在1.3(3)，我们定义了逐点衍推，在1.3(4)和1.4(3)，我们定义了逐个衍推，在1.5(3)，我们定义了全类衍推。这里我们又定义了逐类衍推。以后我们将研究它们之间的关系。 上面我们已经定义了多个语义后承关系。类似地，我们还可以定义其他语义后承关系。例如， 称Φ相对(-模型的类CM逐点衍推A，记作Φ?CM，P A， ( 对每一M∈CM和w∈M (w?Φ( w?A)。 称Φ相对CM逐模型衍推A，记作Φ?CM，M A，( 对每一M∈CM (M?Φ( M?A)。 称Φ相对(-框架的类CF逐模型衍推A，记作Φ?CF，M A， ( 对每一F∈CF和F的模型M (M?Φ( M?A)。 称Φ相对CF逐框架衍推A，记作Φ?CF，F A，( 对每一F∈CF (F?Φ( F?A)。 称Φ相对CF逐点衍推A，记作Φ?CF，P A， ( 对每一F∈CF和F的模型M和w∈M (w?Φ( w?A)。 易见这些衍推关系是前面的衍推关系的概括。易证： 1.7 推论 其中每一命题中的(指称同一个符号。 (1) ?* ＝ ?(M，P ＝ ?(F，P。　　(2) ?*M ＝ ?(M，M ＝ ?(F，M。 (3) ?*F ＝ ?(F，F。　　　　　　(4) ?(M ＝ ?(F。( 下面我们着重考虑具有代表性的3个后承关系：?*，?*M，?*F。 1.8定义 (1) 称σ是一个代入映射 ( σ是从At到FL中的映射。 (2) 任给公式A，定义A的代入特例Aσ如下： ① pσ＝σ(p)， 对所有p∈At， ② ((A)σ＝( (Aσ)， ③ (A∧B)σ＝(Aσ)∧(Bσ