椭圆及其标准方程（第一课时）.doc

椭圆及其标准方程（第一课时） 叶昭蓉 （温州中学 325000） [摘 要] 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，因此这节课有承前启后的作用。由于学生仍对坐标法解决几何问题掌握不够，所以在教学中运用多媒体演示辅助教学，形象的给出椭圆，应用支架式教学模式设计了本堂课；使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程。 [关键词] 椭圆 定义 标准方程 支架式教学 一、引言 支架式教学已越来越引起广大教育工作者的关注，搭脚手架→进入情境→独立探索→协作学习→效果评价。简言之，教师先围绕当前学习主题，按“最邻近发展区”的要求建立概念框架接下来将学习者引入一定的问题情境并创造合适的条件让其独立探索这其间学习者通过各种学习策略如协作等进行意义建构；最后对学习者的意义建构进行整体评价。 被证明是一种适宜的有效的干预方式能使教师适应学生的个别化需求因此，思考：点是以为圆心，为半径的圆上任意一点，是圆内不同于的一定点，，的垂直平分线交直线于，求点的轨迹方程。 （数学上许多重要结论的发现，都是从具体到抽象。） 利用数学教学软件《几何画板》，与学生共同完成图1。 （在教学中我试图引入数学实验，让计算机成为学生进行数学探究的工具。） 作图过程：打开一个新绘图，作长为的线段和长为的线段，以为圆心，以为半径作圆，并在该圆上任取一点为；以为圆心，为半径作圆，并在该圆上任取一点为，作线段的垂直平分线及直线，记它们的交点为，并追踪点(见附件1)。 实验1 用鼠标拖着点P在大圆上慢慢移动，点M的轨迹---椭圆就出现在大家的面前。再用《几何画板》的作图功能画出点M的轨迹。 (二) 椭圆定义的得出： 问题1：在作图过程中，你发现点M有何特点？你能给椭圆下个定义吗？（数形结合，学生容易由感性认知升华到理性上的抽象概括，让学生思考，教师适时引导，得出概念）归纳如下： ①由M在线段的垂直平分线上，可知：， 故为定值。 ②是圆内不同于的一定点，这表明。 从而导出椭圆的第一定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距．即：若为椭圆上任意一点，则有． (三) 椭圆标准方程的推导： 问题2：你能写出椭圆的的方程吗？ 引导学生仔细观察椭圆图形，建立适当的直角坐标系。（将学生分小组进行协商、讨论，然后汇报结果） ①建系：以和所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系； ②设点：设是椭圆上任意一点，设，则，； ③列式：由得 （1） ④化简：移项平方后得， 整理得　　　　(2) 两边平方后整理得 （移项后两边平方是化简根式恒等式的常用方法） 问题3：能否美化结论的形象？ 引导学生回顾：过点的直线的方程的推导过程，可否得到启发？ 再化简，得：　　　（3） 至此，似乎可以告一段落，但不和谐！于是，令，有。 方程（）（☆）叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在轴上，焦点坐标为，，其中． (四) 问题的延拓： （☆）式是相当完美的形式，常数与的选择本是为了简洁而引进，但在以后的学习中我们会发现它们还有着鲜明的几何意义。但（3）式的“简洁美”与“和谐美”掩饰了椭圆第一定义这一本质属性，是哪一步丢失了这一优点呢？引导学生回顾并思考以上的推导过程，若整理（2）式得：，不难看出表示点到焦点的距离，而表示点到定直线的距离，从而得出椭圆的第二定义：动点到焦点和到定直线的距离之比等于常数。再引导学生赏析教材中第100页例4。 实验2 在前提下，改变大小，不变，观察椭圆大小随之变化；改变大小，不变，观察椭圆大小也随之变化，实际上是椭圆的扁平程度变了。 这实验说明椭圆大小与有关，即的值变了，椭圆的扁平程度也变了。 问题4：椭圆的扁平程度与比值是什么关系？（由学生操作重复实验2，并计算比值的大小） 通过观察、归纳，得：比值越大，椭圆越扁；比值越小，椭圆扁“圆”。 我们把影响椭圆扁平程度的比值定义为“椭圆的离心率”，记为，即：，则。 实验3　改变的值，①令，②令，观察椭圆的变化情况。 通过实验得：越接近于0，椭圆就越接近于圆，当时，椭圆就变成了圆；越接近于1，椭圆就越扁，当时，椭圆就慢慢退化成线段。 (五) 问题的再思考：（课下作业） 点是以为圆心，为半径的圆上任意一点，是圆外不同于的一定点，，的垂直平分线交直线于，则点的轨迹是什么？(为以后为学习双曲线作铺定) 三、案例分析 本节课是采用支架式教学模式来设计的。在这节课的教学过程中，由于不只完成一项教学目标，所以支架式教学各环节被多次反复的进行。 本节课从一道思考题