项目训练二求二维金属槽内的点位分布.doc

班 级： 通信13-2 姓 名： 闫振宇 学 号： 1306030222 指导教师： 徐维老师 成 绩： 项目训练二 计算金属槽内电位分布 1. 实验目的和任务 利用有限差分法计算金属槽内电位分布。 学会并掌握利用MATLAB软件计算求解电位分布问题。 学会简单利用MATLAB软件解决数学物理问题。 利用MATLAB编写一个计算机程序； 以步距为的正方形网格离散化场域，然后应用有限差分法求电位的数值解； 根据场分布的对称性，试以半场域为计算对象，并以步距将给半场域以正方形网格予以分割，然后应用有限差分法求电位的数值解； 分别取为n个不同的值和最佳解，求电位的数值解，以此分析加速收敛因子的作用，从迭代收敛时的迭代次数和最终数值解这两方向总结自己的看法； 用计算机描绘等位线的分布； 取中心点处的电位的精确值与数值解进行比较，说明误差范围。 有限差分法原理： 有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似。 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 差分表达式：（有限差分方程） 在x0y平面把所求解的区域划分成若干的小正方形格子，每个格子的边长都为h，假设某顶点的0上的电位是，周围四个顶点的电位分别为，，和。 将这几点的电位用泰勒级数展开，化简，近似可得： （i，j） 上式叫做简单迭代法，收敛速度较慢。 计算时，先任意指定各个节点的电位值，作为零点近似，将零点近似值及其边界上的电位值代入上式中求出一级近似值，再由一级近似值求出二级近似值。以此类推，直到连续两次迭代所得电位的差值在允许的范围内时，结束迭代。 赛德尔迭代法： 通常为了节约时间，对简单迭代法进行改进。每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其他节点的差分方程的迭代，这种迭代法叫做赛德尔迭代法，此迭代法的表达式： 此式也称为异步迭代法，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右。 超松弛迭代法： 为了加快收敛速度，常采用超松弛迭代法。计算时，将某点的新老电位值之差乘以一个因子以后，再加到改点的老电位值上，作为这一点的新电位值。 超松弛迭代法的表达式： 式中称为松弛因子，因子的选取一般依据经验进行。但对于矩形区域，当M,N都很大，计算最佳收敛因子： 其中，M,N分别是沿x,y两个方向的内节点数。 求解最佳收敛因子，计算求得有限差分方程的解。 4. 实验步骤 题目：金属矩形槽，其侧壁与底面电位均是0，顶盖的电位为100V。 图4-1 矩形接地金属槽 4.1 步距为，应用有限差分法求电位的数值解： 利用MATLAB软件编写程序： 4.1.1 初值设定： lx=41;ly=21; 以步距为的正方形网格离散化场域以步距为的正方形网格离散化场域for j=1:lx v1(1,j)=100; i=1; m=100; while(i22) v1(i,lx)=m m=100-5*i i=i+1 根据场分布的对称性，以半场域为计算对象 4.3.2 迭代操作： 同上，迭代过程，运用简单迭代法进行迭代求解。 k=722 至此，可以得到应用简单的有限差分法计算的电位的数值解。 4.4 分析加速因子的作用 为了加快收敛速度，需采用超松弛迭代法。其中称为松弛因子。 最佳收敛因子： 代入M=41，N=21，求出最佳收敛因子=1.76≈1.8 为分析加速因子（收敛因子）的加速作用，代入不同数值的，观察迭代次数k的变化，在迭代过程中运用超松弛迭代法： 为了使迭代次数减少，考虑让每次迭代或等更多的增量 将： v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4; 改写成： v2(i,j)=v1(i,j)+m*(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))/4; 其中m为加速因子 迭代次数分析： 表4-1 迭代次数k值表 m 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 》2.0 k 420 346 282 224 171 120 82 149 不收敛 分析可得，随着收敛因子的增大，迭代次数不断减少。当到达最佳收敛因子时，收敛次数最少。再增大m值，收敛次数又会增大。 最终数值解分析： 分别取m