【2017年整理】基本积分方法.doc

§2 基本积分方法 一、换元积分法 ◆ 1．第一类换元积分法： 设f(u)，为连续函数，可导，且，则 常见的凑微分形式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 例2.1计算 解:令，，则 == =。 例2.2计算下列积分： （1）； （2） 解：（1） （2） ◆ 2．第二类换元积分法： 单调、可导且，又有原函数。则 第二类换元法中常用的变量代换： ① 三角代换：变根式积分 ? 三角有理式积分 注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。 ② 倒数代换：可消去分母中的变量x。 ③ 指数代换： 适用被积函数由a x 或e x 构成的代数式。 例2.3计算积分 解：令 例2.4计算积分。 解：= 例2.5计算积分 解：令，则 = 二、分部积分法 分部积分公式： ◆分部积分法条件： u，v 具有连续导数。 选取u，v 的原则： 可用分部积分法求积分的类型： u(x) u(x) u，v 可任选 dv u(x) dv dv 例2.6 计算积分。 解：原式= 例2.7 计算积分 解： 。 例2.7设，计算。 解：，设，则，。 = 。 三、几种特殊类型的积分： 1．有理函数的积分 部分分式之和的积分 对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下： (1) (2) (3) (4) 其中；dt=dx；。 可以很容易地求出（4）中的第一个积分为 。 而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式 ，其中：。 【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。 例2.8 计算积分。 解： = 例2.9 计算下列积分 （1）； （2） 解：（1）令，则，于是 原式= = = （2）令，则，于是 原式= = 2．三角函数有理式 的积分 有理函数的积分 由，及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：，积分称为三角函数有理式积分。 【解题方法】 ① 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的单项式，或将分母整个看作一项。 ② 尽量使 R(cosx，sinx) 的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。 常用积化和差公式： 倍角公式： ，， ③ 在积分的过程中注意“”的妙用。 例2.10 计算下列积分 （1）；（2）；（3）。 解： 故 原积分= （2） = = = （3） = = 故 原积分= = 3．无理函数的积分有理函数的积分 无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。 【解题方法】 ① 利用第二类换元法中的三角代换； ② 若被积函数含有，，可令，； 若被积函数含有，，可令，其中m，n为正整数，p为m，n的最小公倍数。 【注意】 无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。 例2.11 计算积分 解：令 原积分= =。 四、分段函数的积分 连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有 ◆ 如果函数在分界点连续，则在包含该点的区间内原函数存在。 ◆ 如果分界点是函数的间断点，那么在包含该点的区间内，不存在原函数。 【解题方法】 方法一 ◆ 先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数； 由原函数的连续性确定出各积分常数之间的关系。 方法二 利用变上限积分函数，先求出的一个原函数，则有 =+C （注意：方法二省去了确定常数的麻烦） 例2.12 设，求。 解法一：由于f (x)在在x=0连续，故f (x)的原函数存在，因此先分别求出 f (x)在(–∞，0)，(0，+∞)内的原函数。 由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x= 0处的左、右极限，得 解法二：设f (x)的一个原函数为，而 = 故 ==。 例2.13 求。 解： 由于min{1,x2}在x=－1，x=1连续，故min{1,x2} 的原函数存在，因此先分别求出mi