线性考研问答.docVIP

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线性考研问答

线性代数07考研问答 —海天学校 何坚勇 教授 问:线性代数占数学成绩的25%,有38分之多,但很多同学觉得线性代数不如微积分好学,常常感到“书能看懂,课能听懂,就是不会作题”。这是为什么? 答:因为微积分、线性代数,概率论与数理统计是数学的三门独立学科,其特点各自不同,要针对不同学科的不同特点来进行学习,只有了解了各自学科的特点,才能谈得上进一步掌握它,知已知彼嘛。 问:线性代数课程有哪些特点? 答:通俗地说主要有四个特点: 1、概念多、联系紧密、相互渗透,且这种联系比较隐蔽,这是线代最主要的一个特点。概念之间的联系往往是我们解题的思路、方向。如果你对这种联系了解甚少,甚至根本不知,那么解题就失去了方向,就会感觉无从下手。 而线性代数概念之间紧密且隐蔽的联系,在书本上是分散在各章中,没有现成的。要我们同学在学习过程中,通过不断归纳、总结而提取获得的。如: n阶矩阵A可逆A为满秩矩阵作方程组AX=0只有零解A可通过一系列初等行变换化成单位矩阵InA可分解为一系列初等矩阵的乘积A可分解为一系列可逆矩阵的乘积A的行向量组线性无关A的列向量组线性无关A的行(列)向量组是n维向量空间Rn中的一组基任一个n维向量α均可由A的列(行)向量组线性表出对任意的b,方程组AX=b必有唯一解,且X=A-1bA没有零特征值。 AT A为正定矩阵。 上述十几个概念是等价的(充分必要的),给了一个就可推出其余的。在教科书中是分散在六章中介绍的。而学过线性代数后就要把它总结归纳且掌握住。在一个证明题,甚至计算题中,往往根据已知条件提供的概念及所要证明或计算的结论,找出等价的概念逐步进行演算。 例:已知n阶矩阵A,求证存在一个非零的n阶矩阵B,使AB=0的充分必要条件是。这个题的题干条件是矩阵运算。要证结论是行列式,而要用到的等价概念是线性齐次方程组AX=0有非零解。 2、线代第二个特点是符号多,下标多,有时下标中带下标。如: … 每一个符号实际上都体现了一个概念,都必须掌握并明白无误。 关于下标的概念是一部份同学尤其是原来学文、财会、医等同学感到困难的地方,下标是用来区分不同元素的一个符号标记,如行列式中,与,前者表示排在第三行第一列的元素,后者表示处在第2行第4列的元素,再进一步抽象化:表示处在第行第列位置的元素。 有时下标取值范围的不同表达形式,可用来反映不同的内容,如: (Ⅰ) : 及 (Ⅱ) : (Ⅰ) 与(Ⅱ)的主要部份都是相同的:都是第i方程的∑记号简写形式。但后面括弧中下标i的取值范围不同,(Ⅰ) 所反映的是一个m×n型的线性方程组,而(Ⅱ)描述的是这方程组中(i从1→m中)某一个方程。因此想学好线性代数“符号及下标”是必须要过的一关。 第三个特点:线性代数中有些运算性质与初等代数的运算性质不同,甚至相悖。这是部份同学常常犯错误的地方。 如在初等代数中:乘法交换律: ;零因子定律:若 则或或;消去律:若 且 则 b=c 等,是我们非常熟悉的运算性质。 但在矩阵的乘法运算中就不成立: (1) 交换律不成立,一般讲 (2) 零因子定律不成立:若 或A=0, 或B=0 (3) 消去律不成立:若 且 A≠0 B=C 在线性代数中,对运算的要求很简单,只是+,-,×,÷,甚至连开方都很少用到,但计算工作量大,“马虎”式的错误不少。如有一次考研解题过程中,有,好几个同学得到 以下计算就全错。也有不少同学将:,写成矩阵形式为:(3,2,-4,1) 等等。使往下计算工作都白做。因此学习线性代数要牢记特有的与初等代数有别的运算性质。对于经常犯“马虎”毛病的同学一定要培养自己计算正确的运算习惯,别无它法,否则很是吃亏。 在历届考题中,计算往往要占到总量的70%以上,而计算错误多也是线性代数考研题得分率不高的原因之一。 第四个特点:相对微积分讲,线性代数中部分内容对抽象思维能力与逻辑推理能力要求比较高。如向量组的线性无关概念,矩阵秩的概念,向量空间的概念等,相对讲比较抽象。要通过不断反复体会、琢磨 不仅从正面,还要从各个侧面,甚至从反面去思考、分析才能逐步加深理解,掌握实质。 如:“矩阵A有一个r阶子式不为0,而所有的r+1阶子式全为0,则称A的秩为r”。我们可以思考:A有没有为0的r阶子式?有没有不为0的r+2阶子式?有没有为0的r-1阶子式?有没有不为0的r-1阶子式?所有的r-1阶子式全为0行不行?全不为0行不行?(r-2)阶又怎么样?又如“矩阵A的秩大于r”又会得到什么样的结论?等等都是可进一步思考的侧面。 像这些较抽象不易理解的概念要用较长时间反复体会、琢磨才能做到真正掌握。 只有了解了线代课程的特点,对自己薄弱环节有针对性地进行复习,才能取得事半功倍的效果。 问:有人说,线性代数只要大量作题

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