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第一章 复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. 作业布置：思考题：1、2、3.习题一：1-9 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算 教学过程： 引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较. 第一章 复数与复变函数 §1.1 复数 (Complex number) 复数的概念（The concept of complex） 1、称为复数，其中，是虚数单位；通常记为； 2、和分别称为的实部和虚部，分别记作，； 3、纯虚数：若称为纯虚数；当，那么称为虚数；当时，那么就是一个实数； 4、两个复数相等：复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等. 5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记的共轭复数为.设复数，则称为复数的共轭复数（Conjugate），记作 注1：两个虚数之间不能比较大小. 例如，设，则，即，矛盾. 注2： 二、复数的四则运算（Complex number arithmetic） 设 则 （） 容易验证下列公式： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ， ， (5) , ，(6) . 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律. 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为. 三、复平面（Complex plane） 作映射：，则在复数集与平面之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complex plane）或Z平面. 注3 复平面一般称为-平面，-平面等. §1.2 复数的三角表示 (The representation of complex number) 一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument） 如图: 复数用向量来表示.向量的长度称为复数的模，记作：； 向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角（Argument），记作：. 由于任意非零复数有无限多个辐角，用表示符合条件 的一个角，称为复数主辐角（Main Argument）.即的主值，于是 此时有. 注4 当时辐角无意义. 当时，有如下关系（，） 例1 求 解 二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality） 关于两个复数与的和与差的模，有下列不等式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）. 例2 设，是两个复数，求证： 证明