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* * 第六章 量纲分析与相似原理 § 6-1 单位与量纲 § 6-2 量纲分析与?定理 § 6-3 流动相似原理 §6-1 单位与量纲 基本量纲： 质量、长度、时间、温度 量纲： [M]、 [L]、[T] 、[?] 导出量纲：如 一组独立量纲 国际单位制有七个基本量纲 a=1，b=1，c=?2 [F]=[MaLbTc] [F]=[M1L1T-2] 第六章 量纲分析和相似原理 制定基本量纲的规则： 相互独立且足以描述物理现象。 量纲一致性原理 量纲分析的瑞利法 正确反映客观规律的物理方程中，各项有相同量纲。 根据量纲一致性原理，简化一般的函数关系，以指导实验研究。 6.1 单位与量纲 例1. 已知单位长度圆管的压强损失与圆管流的密度、粘度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。试用简单的幂次式表达这一函数关系。 解：这一函数关系以幂次式表达为 根据量纲一致性原理，方程两边有相同的量纲。 [ML?1T?2][L]?1= [L]?+? [LT?1]? [L2T?1]? [ML?3]? [F]=[M1L1T?2] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 单位长度圆管的压强损失 或写成 这就是圆管沿程损失的达西公式 例题 6.1 单位与量纲 物理定律不依赖于单位的选择 当 Re=104 ~ 105，CD ?1.2, St ?0. 2 §6-2 量纲分析与?定理 A=dL 迎风截面面积 f 尾流振荡频率 圆柱绕流 阻力系数和脱涡频率表示为无量纲综合参数 第六章 量纲分析和相似原理 CD Re 如何确定无量纲综合参数? 圆柱绕流的阻力系数 6.2 量纲分析与?定理 量纲分析的布金汉定理( ?定理) 若某物理问题有n个变量，满足函数关系 其中涉及m个独立的基本量纲， 则n个变量可组成n?m个独立的无量纲数 这些无量纲数存在函数关系 1、几何相似要求有一个长度量纲 2、运动相似要求有一个速度量纲 3、加上一个包含质量的量纲 不可压流动有三个独立的基本量纲（有多种选择）： 6.2 量纲分析与?定理 例2. 已知圆球的流体阻力与圆球直径d、相对速度V、流体动力粘性系数?及密度?有关。试求圆球 阻力FD的表达式。 解 阻力可表达为 问题涉及的变量数 n=5 基本量纲数 m= 3 无量纲 ? 的个数是 n ? m=2 由? 定理有函数关系 应用? 定理寻求更简洁的函数关系 选 ?、V、d 作为基本的度量尺度， ? 可表示为 例题 量纲关系 由量纲一致性 解出 a1=1, ?3a1?b1+3c1=1, ? b1=? 2 (1) a2=1, ? 3a2+b2+c2=?1, ?b1=?1 (2) ? 例题 6.2 量纲分析与?定理 例3.试用 ?定理求直圆管的压强差关系式。已知压强差与流体的密度 ?、粘度 ? 、弹性模数E、平均速度V、管径 d、管长 l、粗糙高度 ?、重力g、表面张力?有关。 解：按题意这一关系式可表达为 有n=10个变量，m=3个独立变量 无量纲 ? 的个数是 n-m=7，设为 ，取?、V、d 例题 根据量纲一致性原理确定基本量纲的指数 不可压缩圆管流粘性摩擦为主，忽略Fr，We，M 达西公式 ? 6.2 量纲分析与?定理 例题 例4. 风洞试验预报声纳传感器的阻力。实型球壳直径d=10m，深水拖曳速度V=0.10 m/s。若模型直径dm=1m，求在空气中模型的速度。若风洞试验的模型阻力为 6N，试估算实型阻力。气温和水温均为15?C。 解. 忽略压缩性影响，实物与模型都应满足 由实物与模型的雷诺数相等得模型速度 再由阻力系数相等得到实型阻力的估算值 ? ? 例题 船模的波浪阻力实验要求弗汝德数相等 若模型与实物比尺lm/lp=1/10，则 船模的水池阻力实验要求雷诺数相等 例5. 两个条件互相矛盾! 必须针对具体问题，确定起主要作用的综合参数 6.2 量纲分析与?定理 例题 § 6-3 流动相似原理 力学相似 （1）几何相似 （2）运动相似 （3）动力相似 模型与原型相似的条件 ？ 第六章 量纲分析和相似原理 一、相似性的概念 （1）几何相似 用特征长度表示这些比值: d、L ... 实物和模型力学相似的三个方面： 6.3 流动相似原理 （2）运动相似 特征速度:V?、V0 、 ... 6.3 流动相似原理 （3）动力相似 力多边形相似，力的比例关系相等 6.3 流动相似原理 二、 物理特征量及力的量级 流场的长度、时间、速度及压强的特征量 利用物理特征量定义无