世纪金榜二轮专题辅导与练习选修_4-2.pptVIP

选修4-2　矩阵与变换 一、主干知识 1.矩阵的定义:同一横(竖)排中按原来次序排列的一行(列)数叫做矩阵的行(列),组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素,其中,一条从左上角到右下角的元素构成的对角线称为矩阵的主对角线. 特别:(1)2×1矩阵,2×2矩阵(二阶矩阵),2×3矩阵. (2)零矩阵:__________. (3)行矩阵: ________,列矩阵: _____ ,一般用 等表示. [a11,a12] 2.几种常见的平面变换： (1)恒等变换矩阵(即单位矩阵)：________. (2)伸压变换矩阵：______________. (3)反射变换矩阵：______________________. (4)旋转变换矩阵：_____________. (5)投影变换矩阵：_____________. (6)切变变换矩阵：_____________. 3.逆矩阵:设A是一个二阶可逆矩阵,如果存在二阶矩阵B,使 AB=BA=E,则称二阶矩阵A是可逆矩阵,称B是二阶矩阵A的逆 矩阵,记作A-1. 4.特征值和特征向量： A= 如果存在λ和非零向量 满足 ______________，即 则λ叫A的一个特征值， 叫A的属于特征值λ的一个特征向量. 二、重要公式和法则 1.二阶行矩阵与平面向量的乘法： _________ 2.二阶行矩阵的乘法: _____________ 3．二阶可逆矩阵A= (ad－bc≠0)的逆矩阵是 _____________________. 4．设A= 是一个二阶矩阵，λ∈R,则A的特征多项式为： ___________________________________. 5.矩阵M的n次变换 对于二阶矩阵M，它的特征值分别为λ1和λ2，其对应的特征向 量分别为 和 (两者不共线)，则当任一向量 时， _________________. 1．(2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1= 求矩阵A的特征值． 【解析】因A－1= 故A=(A－1)－1= 因矩阵A的特征多项式为f(λ)= =λ2－3λ－4， 令f(λ)=0，解得矩阵A的特征值λ1=－1，λ2=4. 2．(2012·福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= (a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1. (1)求实数a，b的值. (2)求A2的逆矩阵. 【解析】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应 的变换作用下的像是P′(x′,y′)， 由 得 因点P′(x′,y′)在曲线x2+y2=1上， 故(ax)2+(bx+y)2=1，化简得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1，从而比较对 应项系数得： 又因为a0，解之得 (2)由(1)得A= 故A2= 从而(A2)－1= 热点考向 1 二阶矩阵与平面向量、常见的平面变换 【典例1】(2013·南京模拟)已知矩阵M＝ 对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)， 将曲线C：xy＝1变为曲线C′． (1)求实数a，b的值.(2)求曲线C′的方程． 【解题探究】 由条件点A(1，1)变为A′(0，2)，根据矩阵与平面向量的乘法 法则得关于实数a，b的方程是__________，从而求解，并得到 坐标的变换公式是_____________，再代入曲线C的方程，即可 得到曲线C′的方程. 【解析】(1)由题知， 即 (2)设P′(x，y)是曲线C′上任意一点，P′由曲线C上的点 P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到， 所以 解得 因为x0y0＝1，所以 即曲线C′的方程为 【互动探究】根据本题条件，能否判断矩阵M属于何种常见的 平面变换？从本题结果观察，反比例函数 的图象，通过 何种变换，可转化成双曲线的标准形式？ 【解析】因点A(1，1)在直线y=x上，此直线与坐标轴的夹角为 45°，当它变换到A′(0，2)时，即变换到y轴上，故这是旋转 变换，又因OA= OA′=2，故还需实施伸压变换，即本题变 换中含有两种常见的变换，即由 从本题结果观察，反比例函数 的图象，通过旋转变换(旋 转角为±45°)，可转化成双曲线的标准形式. 【方法总结】曲线变换问题的求解思路 有关曲线的变换问题，都是通过变换矩阵左乘列向量，得到原曲线上的点坐标与新坐标之间的关系式，再用新坐标的函数式表示原坐标，而原坐标一定满足原方程，故代入原方程，即可得到新的曲线方程. 【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，直线l:x+y+2=0在