世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四第三讲.pptVIP

【解析】(1) 所以 所以 (2)因为cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. 所以设cn的方程为： 把Dn(0,n2+1)代入上式，得a=1, 所以cn的方程为：y=x2+(2n+3)x+n2+1. kn=y′|x=0=2n+3, 所以 所以 = = 【方法总结】求解点列问题的关键及规律 (1)关键：寻求点的横坐标或纵坐标之间的关系. (2)规律：根据横坐标或纵坐标的关系将其转化为等差或等比数列或数列求通项及求和问题，进行求解. 【变式训练】已知曲线C：xy=1,过C上的点An(xn,yn)作斜率为 的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1)，点列{An} 的横坐标构成数列{xn}，其中 (1)求xn与xn+1的关系式. (2)令 求证：数列{bn}是等比数列. (3)若cn=3n-tbn(t为非零整数，n∈N*)，试确定t的值，使得对 任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立. 【解析】(1)依题意知，过An(xn,yn)的直线方程为 联立方程 消去y得 所以xnxn+1=xn+2,即 (2)因为 所以 所以数列{bn}是首项为 公比为q=-2的等比数列. (3)由(2)知,bn=(-2)n,要使cn+1cn恒成立, 由cn+1-cn=[3n+1-t(-2)n+1]-[3n-t(-2)n] =2·3n+3t(-2)n0恒成立. 即 恒成立. 当n为奇数时，即 恒成立. 又 的最小值为1，所以t＜1. 当n为偶数时，即 恒成立， 又 的最大值为 所以 即 又t为非零整数， 所以t=-1，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn. 热点考向 3 数列与不等式的综合 【典例3】(2013·宁波模拟)设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S4=5S2,数列{bn}的前n项和为Tn,满足b1=1,Tn=n2bn,n∈N*. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设cn=(Sn+1)(nbn-λ),若数列{cn}是单调递减数列,求实数λ的取值范围. 【解题探究】 (1)数列{an},{bn}的通项公式的求解思路: ①等比数列{an}中,由a1=1,S4=5S2可得关于公比q的方程为 ,从而可求得q=__; ②数列{bn}中,由Tn=n2bn可得Tn-1=_________,从而可得 = (n＞1),故可用_______求bn. 2 (n-1)2bn-1 累乘法 (2)求实数λ的取值范围的三个关键点： ①把cn用n,λ表示为 ②计算cn+1－cn= ； ③由数列{cn}是单调递减数列可知,cn+1-cn0对n∈N*都成立,把 所求问题转化为求函数的最值问题. 【解析】(1)由S4=5S2，q＞0,知q＞0且q≠1，所以 所以q=2,an=2n-1, 又 则得 所以 当n=1时也满足. (2)Sn=2n－1，所以 若数列{cn}是单调递减数 列， 则 对n∈N*都成立， 即 当n=1或2时， 所以 【方法总结】 1.证明与数列交汇的不等式问题的常用方法 (1)作差比较法证明. (2)判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明. (3)合理利用放缩法证明. 2.数列中不等式的放缩技巧 (1) (2) (3) (4)利用(1+x)n的展开式进行放缩． 【变式训练】(2013·南通模拟)已知数列{an}满足：a1=a+2(a≥0),an+1= n∈N*. (1)若a=0,求数列{an}的通项公式. (2)设bn=|an+1-an|，数列{bn}的前n项和为Sn, 证明：Sna1. 【解析】(1)若a=0时，a1=2,an+1= 所以2an+12=an,且an0. 两边取对数，得lg 2+2lg an+1=lg an, 化为lg an+1+lg 2= (lg an+lg 2), 因为lg a1+lg 2=2lg 2, 所以数列{lg an+lg 2}是以2lg 2为首项， 为公比的等比数列. 所以lg an+lg 2= 所以an= (2)由an+1= 得2an+12=an+a, ① 当n≥2时，2an2=an-1+a, ② ①-②，得2(an+1+an)(an+1-an)=an-an-1, 由已知得an0,所以an+1-an与an-an-1同号. 因