世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四第一讲.pptVIP

【解题探究】 (1)要证数列 是等差数列,只需用定义法证明 . (2)证明公比等于1的切入点: ① 三者的大小关系是 ; ②根据①得到an+1的范围是 ; ③本题直接证明不易证,故由②想到可用_____法证明等比数列 {an}的公比等于1. 反证 【证明】(1)因为 所以 所以 所以 所以数列 是以1为公差的等差数列. (2)因为an＞0,bn＞0, 所以 (*)， 设等比数列{an}的公比为q，由an＞0知q＞0，下面用反证法证 明q=1. 若q＞1则 所以当 时， 与(*)矛盾. 若0＜q＜1,则 所以当 时， an+1=a1qn＜1，与(*)矛盾. 所以综上所述，q=1. 【方法总结】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证 为同 一常数. (2)通项公式法. ①若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(n∈N*),则数列{an}为等 差数列; ②若an=a1qn-1=amqn-m或an=p·qkn+b(n∈N*),则数列{an}为等比数列. (3)中项公式法. ①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则数列{an}为等差数列; ②若an2=an-1·an+1(n∈N*,n≥2),则数列{an}为等比数列. 【变式训练】已知数列{an}中,Sn是其前n项和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1, (1)设bn=an+1-2an(n=1,2,…),求证:数列{bn}是等比数列. (2)设cn= (n=1,2,…),求证:数列{cn}是等差数列. (3)求数列{an}的通项公式及前n项和. 【解析】(1)由Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,两式相减,得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),即an+2=4an+1-4an, 所以an+2-2an+1=2(an+1-2an). 又bn=an+1-2an,所以bn+1=2bn　 ① 已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2, 解得a2=5,b1=a2-2a1=3≠0　 ② 由①和②得,数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,且bn=3×2n-1. (2)因为 所以 = 故数列{cn}是首项为 公差为 的等差数列， 且 (3)因为 所以 当n≥2时,Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2; 当n=1时,S1=a1=1也适合上式. 综上可知,数列{an}的前n项和Sn=2n-1(3n-4)+2. 【典例】已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0). (1)若a20=40,求d. (2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围. (3)续写已知数列,使得a30,a31,…,a40是公差为d3的等差数列,…,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论? 等差(比)数列的综合问题 【解题探究】 (1)a10的双重身份是什么? 提示:a10是公差为1的等差数列的第十项,也是公差为d的等差数列的第一项. (2)a30关于d的函数类型是什么? 提示:二次函数. (3)试用d表示a40,由此你能想到用什么方法得到一般结论? 提示:a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3);可用归纳推理得到一般结论. 专题四 数列 第一讲 等差、等比数列的概念与性质 一、主干知识 1.等差数列的定义： {an}为等差数列?________(n∈N*，d为常数). 2.等比数列的定义： {an}为等比数列?_________(其中n∈N*,an≠0,q为不为零 的常数). an+1-an=d 3.等差、等比中项： (1)若x,A,y成等差数列?A为x，y的等差中项?2A=____. (2)若x,G,y成等比数列?G为x,y的等比中项?G2=___. 4.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式： an= x+y xy Sn-Sn-1 二、必记公式 Sn= Sn=__________ =_____________ 前n 项和