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第二节 数学命题及其教学 　　一、判断 　　１.判断的概念　　判断是人们对事物情况有所肯定或否定的一种思维形式。　　判断通常表现为两个或更多个概念之间的联系。例：所有的平行四边形两组对边分别相等。 　　判断具有两个特征：必须对研究对象有所肯定或否定；判断有真有假。如果一个判断符合客观实际，那么这判断是真的，反之，就是假的。 　　２. 判断的种类 　　按判断本身是否包含其它判断，又可分为简单判断和复合判断。 　　在简单判断中，按照断定对象的性质，还是断定对象之间的关系，又可分为性质判断和关系判断。 　　在复合判断中，按照逻辑联结词的不同，又分为否定判断、联言判断、选言判断和假言判断。 　　３. 性质判断　　是断定事物具有或不具有某种性质的判断。一切性质判断都由主项、谓项、量项、联项四部分组成。例如： 　　所有的等边三角形都是相似形； 　　零和负数无对数； 　　有些平行四边形是矩形； 　　有些一元二次方程的根不是实数。 　　主项表示判断的对象。如上面这些例中， “等边三角形” 、“零和负数”、“平行四边形”、“一元二次方程的根”，主项通常用S表示。 　　谓项表示判断对象具有或不具有的性质。上例中， “相似形” 、“对数”、“矩形”、“实数”。谓项通常用P表示。 　　量项表示主项的数量。 表示对象全体的叫做全称量项， 用“一切”、“所有”等词表达；表示对象一部分的叫特称量项，用“有些”、“有的”表示。 　　联项表示主项与谓项之间的关系。通常用“是”或“不是”等词表达。 　　按性质判断的“量”和“质”，可分为四种形式，如下表： 种 类 结 构 形 式 现代逻辑表示 全称肯定判断 全称否定判断 特称肯定判断 特称否定判断 所有的S是P(简记为SAP) 所有的S不是P(简记为SEP) 有些S是P(简记为SIP) 有些S不是P(简记为SOP) sP(s) s sP(s) s 　　　　　　　　　　 　　具有相同主项和谓项的之间的真假关系有如下结论： 　　判断和判断之间，不能同真，其中至少有一个为假，这种关系称为“反对关系”。 　　判断和判断之间，不能同假，其中至少有一个为真，这种关系称为“下反对关系”。 　　判断和判断， 判断和判断之间， 不能同真，也不能同假，其中必是一真一假，这种关系称为“矛盾关系”。 　　判断和判断、判断和判断之间， 全称判断真， 特称判断必真；全称判断假， 特称判断真假不定；特称判断真，全称判断真假不定；特称判断假，全称判断必假，这种关系称为“逻辑蕴涵关系”。 　　例如：（A）“一切菱形都是平行四边形”为真时， 　　　　　（B）“一切菱形都不是平行四边形”为假； 　　　　　（C）“有的菱形是平行四边形”为真； 　　　　　（D）“有的菱形不是平行四边形”为假。 　　４. 关系判断　　关系判断是事物与事物之间关系的判断，例如： 　　在数轴上的点集中，点在点左边（按数轴方向从左到右） 　　梯形中位线平行于（任一个）底。 　　关系前项 谓项 量项 关系后项 　　中数里主要研究二项关系（二元关系）： 若集合中的元素和有关系，则记为。 　　数学里常见的几种关系形式： 　　自反关系：集中的关系称为自反的，如果，都有； 　　反自反关系：集中的关系称为反自反的，如果不存在，使得。 　　在自然数集中，“整除”，“同余”都是自反关系 　　实数集中，“大于”、“小于”则是反自反关系。 　　对称关系：集中的关系称为对称的，如果由可推出。 　　反对称关系：集中的关系称为反对称，当且仅当时， 与同时成立。 　　例如：两直线之间的“平行”、“相交”、“异面”、“垂直”都是对称关系； 　　实数之间的“不大于”、“不小于”则为反对称关系。 　　传递关系： 集中的关系称为传递的， 如果由可推出 　　反传递关系：集中的关系称为反传递的， 如果由，可推出必不成立。 　　例如：在三角形集合中，全等关系是传递关系。 　　在非空集的一切子集构成集合中，互补关系是反传递关系。 　　具有自反性、对称性、传递性的关系叫做等价关系，是分类的基础。 　　例如：在多边形集合中，相似关系就是等价关系。 　　二、命题及命题演算 　　１. 命题 　　数学中表达判断的语句， 通常叫做数学命题。 定义、公理、定理、公式、法则等都是数学命题。命题的分类如同判断的分类。表达简单判断的语句就是简单命题；用逻辑连接词连接若干个简单命题，就构成复合命题。 　　例如：，表示“”或“” 　　“是等腰三角形”且“是直角三角形” 　　若“中，”，则“” 　　这三例都是复合命题， 其中， 每个 “” 中的是简单命题，“或”、“且”、“若…则…”称为逻辑联词。 　　２. 命题演算 　　下面我们用等表示简单命题（命题变元）， 命题为真用“1”（或Ｔ）表示，假则用“0”（或Ｆ）表示。 将命题用