等腰三角形专题.doc

等腰三角形专题 专题一 等腰三角形知识的应用 1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点. 2.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE.求证:EC=ED. 专题二 等腰三角形操作题 3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等． 下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题: 学习等腰三角形后，老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．” 同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．． 假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？ (2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)已知ABC为等边三角形，在图中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点． （1）请猜一猜：图中BQM等于多少度？ （2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由． ABC是等边三角形，D是AC的中点, 所以∠1＝∠ABC. 又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E. 所以∠ACB＝2∠E, 即∠1＝∠E. 所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M, 所以M是BE的中点. 2.证法一:延长BD到F,使DF=BC,连结EF,如图2.则BE=AE+AB=BD+DF=BF,故△BEF为等边三角形,从而可证△BCE≌△FDE,所以EC=ED. 证法二:过E作EF∥AC,交BD的延长线于F,如图2,则△BEF为等边三角形,以下同证法一. 证法三:在AE上截取EF=BC,如图3.则AF=CD,故AC∥DF,从而△BDF是等边三角形,DF=BF=AE,可证△ACE≌△FED,所以EC=ED. 证法四:过D作DF∥AC交AE于F点,如图3,以下同证法三. 证法五:作EF∥BC交CA的延长线于F,如图4.则△AEF是等边三角形,从而可证 △CEF≌△EDB,所以EC=ED. 证法六:作DF∥AB交AC的延长线于F,连结EF,如图5.则△CDF是等边三角形,故AF=AC+CF=BC+CD=BD=AE,从而∠AEF=∠AFE=30O,∠DFE=30O,即EF是等腰△CFD的顶角平分线,所以EF垂直平分CD,由此得EC=ED. 证法七:作EF⊥BD,垂足为F,如图6.则∠BEF=30O,BE=2BF,即AB+AE=2BC+2CF,从而有BC+2CF=AE=BD=BC+CD,即CD=2CF,有CF=DF,EF为CD的垂直平分线,所以有CE=ED. 3.以下答案仅供参考 AM’为等腰三角形ABC底边上的高） 方案二：如图1（2）所示，（虚线为切割线，M、N为AB、AC中点，MP⊥BC）; （2）若要把该三角形只切割一次后焊接成正方形零件，则该三角形应为等腰直角三角形. 5.(1)该三角形的周长应该为22cm或23cm.∵当腰长为7cm时,周长=7+7+8=22(cm);当腰长为8cm时,周长=8+8+7=23(cm); (2)考虑问题要全面.(其他符合题意的话都可以) 6.（1）∠BQM = 60°；（2）题的证明思路如下：先证ACM ≌△BAN，得到M =∠N，所以BQM =∠N +∠QAN =∠M +∠CAM =∠ACB = 60°． 图① 图②