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垂 径 定 理复习课 执教者：之江中学黄红梅 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 结论 （1）直径（或过圆心的直线） 题设 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所 对的优弧 （5）平分弦所 对的劣弧 定理剖析 垂径定理数学表达 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 或:∵ CD过圆心, CD⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！ 我学习，我快乐 ②CD⊥AB, 垂径定理的推论 ●O C D 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B ┗ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平 分弦所对的两条弧. AB是⊙O的一条弦,直径CD与AB交于点M，且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系? 说说你的想法和理由. 垂径定理的本质是 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧 （2）一条弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( ) （3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( ) （4）弦的垂直平分线是圆的直径 （ ） （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( ) 判断正误 我很棒！ O A B C 原题：圆O中弦AB的长为8，弦AB的弦心距为3，求圆的半径。 变式一 C O A B D 1、圆O中弦AB的长为8，DC为2，求圆的半径。 变式二（１） O A B C M N C A B M N O 2、圆O中两平行弦AB的长为6，MN为8，圆的半径为5，求两平行线间的距离。 考点透析 O A B C M N 实际应用 A C O B D E F 一条30米宽的河上架有一半径为25米的圆弧形拱桥，请问一顶部宽6米，高出水面4米的船能否通过此桥？ O A B C 变式一 C O A B D 变式二（1） O A B C M N 3、圆O的直径为10，弦AB，MN互相垂直于E，且AE为2，BE为6，求ME，NE的长度。 式 变 二 （2） N O M A B C E D O A B C 变式一 C O A B D 变式二（1） O A B C M N N O M A B C E 式 变 二 （2） 1、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段 2、一个Rt△： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦 · O A B C 3、两个定理： 垂径定理、勾股定理 方法归纳 O A B C 变式三 C P O A B Q 6、为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄和道路实行封闭管理，现有一条笔直的公路PQ通过禽流感疫区，O为疫点，在扑杀区的公路AB为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？ 中考演练 O A B C C O A B D 弓形 （1）关键是引导学生找到由圆的半径，弦长的一半，弦心距构成的直角三角形； （2）根据勾股定理： （圆的半径）2=（弦长的一半）2+（弦心距）2。 O A B C M N N O M A B C E A B O C N M 两平行弦 两垂直弦 两相交弦 * * * *