单调性和极值.ppt

§5. 4 函数的单调性与极值 定理1（函数单调性的判别法） 函数单调性的判别法 例2? 二、极值及其判别法 定理3（极值的第一判别法） 练习2： 定理4（极值的第二判别法） 练习3： 小结： * * 函数y=f(x)的图象有时上升, 有时下降. 如何判断函数的图象在什么范围内是上升的, 在什么范围内是下降的呢？ 一、函数单调性判别法 f ?(x)0 f ?(x)0 观察结果 函数单调增加时导数大于零? 函数单调减少时导数小于零? 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上严格单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上严格单调减少? 由拉格朗日中值公式? 有 f(x2)? f(x1) =f ?(x)(x2?x1) (x1xx2)? 因为f ?(x)0? x2?x10? 所以 f(x2)?f(x1)?f ?(x)(x2?x1)0? 即 f(x1)f(x2) ? 这就证明了函数f(x)在(a? b)内单调增加? 证明? 只证(1)? 在(a? b)内任取两点x1? x2(x1x2)? 说明 1、判别法中的开区间可换成其他各种区间? 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f ?(x)≥0 (≤0) 如： 函数f(x)?x3在(??? ??)上严格单调增加 但 f ?(0) ?0 函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上严格单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上严格单调减少? 例1? 求函数y?x+sin x 的单调区间? 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上严格单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上严格单调减少? 解? 函数的定义域为R f ?(x) ?1+cos x≥0? 故 f(x)在R上单调增加? 但 f ?(x) ?1+cos x=0 仅当 x=(2k?1)π k∈Z时成立， 即 f(x)的驻点不填满任何区间 故 f(x)在R上的严格单调增加? 说明 一般地? 如果 f ?(x)在某区间内的有限个点处为零? 在其余各点处均为正(或负)时? 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的? 讨论函数y?x3的单调性? 解? 函数的定义域为(??? ??)? y??3x2 ? 显然当x?0时? y??0; 当x?0时? y?0? 因此函数y?x3在区间(??? 0]及[0, ??)内严格单调增加? 从而函数在整个定义域(??? ??)内严格单调增加? 1? 设函数 y?f(x)在[a? b]上连续? 在(a? b)内可导? x1? x2是 f ?(x)的两个相邻的零点? 问f(x)在[x1? x2]上是否 单调？ 讨论 结论：由单调性判别法可知f(x)在[x1? x2]上一定单调。 2.设函数 y?f(x)在[a? b]上连续? 在(a? b)内可导? x1? x2是 f ?(x)的两个相邻的零点? 问f ?(x)在(x1? x2) 内符号如何判断？ 结论：只要求出(x1? x2)内某一点的符号，即可知 f ?(x)在(x1? x2) 内符号 3? 如何把区间[a? b]划分成一些小区间? 使函数 f(x) 在每个小区间上都是单调的？ 结论：解出使f ?(x)=0的点，以这些点为分界点划分[a? b]