同济第3版-高数-(5.4) 第四节 平面图形的面积.ppt

若选择 y 作为积分变量，则 求得相应弧微分形式为 比较弧微分形式可见，宜选择 x 作为积分变量。 计算定积分求弧长 设曲线方程由参数式给出 其中，?( t ),?( t )在区间[ ? ,? ]上具有连续导数，求 这段曲线弧的弧长 S . 由直角坐标系下曲线弧长的讨论知，曲线弧长 的计算关键是确定弧长元素或弧微分。 确定弧微分的基本关系式是微分三角形下的勾股定 理，即 因此，对于参数式给出的 曲线，也可从此基本关系式出发进行讨论。 由曲线参数方程 C: x = ?( t )，y = ?( t )有 d x = ? ?( t )d t，d y = ?( t )，于是 若当 t ?[ ? ,? ]时，动点沿曲线运动对应参数 t 是 单调增加的，则有d t 0 ，?d t?= d t，于是 从微分三角形出发进行计算 例：设摆线的方程为 求摆线的一拱 ( 0 ? x ? 2? )的长度。 为计算弧长需先写出所求弧长的定积分表示式, 对曲线方程由参数式给出的情形，关键是确定相应的弧 微分表示形式。 由摆线方程 C: x = a( t - sin t )，y = a( 1 - cos t )有 d x = a( 1 - cos t )d t，d y = a sin t d t . 由于当 t : 0 ? 2? 时，d t 0，于是有 用弧微分计算曲线弧长 确定弧微分形式 从而所求弧长为 计算定积分求弧长 用元素法求解 图形为极点在区域边界线上的情形，可取顶点在极 点的小曲边扇形为其面积元素。易求得面积元素为 所求图形面积为 　　立体体积计算也是积分学最初研究经典问题之一， 体积具有可加性的量，因而也可用定积分方法计算。 立体由曲面围成，而曲面方程通常对应于二元函数 z = f ( x ,y )，体积计算一般是多元函数积分学的问题。 但某些特殊立体，如旋转体和平行截面为已知的立体， 其体积计算可归结为一元函数积分 的计算。通过这些特殊立体体积 的计算，不仅可进一步掌握定积 分的应用方法，同时也为多元函 数积分学的讨论打下良好基础。 由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而 成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。 (1) 旋转体的概念 旋转体体积与形成该旋转体的平面图形面积间有着 密切关系，因此可通过面积计算来讨论旋转体体积。 由于平面图形总可表示为曲边梯形，故只需考虑由 曲边梯形绕坐标轴旋转一周而成的旋转体体积。 考虑由连续曲线 y = f( x )、直线 x = a、 x = b 及 x 轴围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周所 形成的旋转体体积 V x . (2) 旋转体体积的计算 选择 x 作为积分变量， 任取[ x ,x + d x ]?[ a ,b ]， 考虑该小区间所对应的小曲 边梯形绕 x 轴旋转一周所成 的小薄片旋转体体积 ? Vx . 该小薄片可近似地看成是以 f( x )为半径，d x 为高 的小圆柱体，因而有 ? Vx ? ?[ f( x )]2 ? x . 取体积元素为 d Vx = ?[ f( x )]2 d x . 由此求得所求旋转体体积为 切片法 类似地可求由连续曲线 x = ?( y )、直线 y = c、y = d y 轴围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成旋转体体积 Vy . 选择 y 作为积分变量， 任取[ y ,y + d y]?[c ,d ]， 考虑该小区间所对应的小曲 边梯形绕 y 轴旋转一周所成 的小薄片旋转体体积 ?V y . 取体积元素为 dVy = ?[?( y )]2d y . 求得旋转体体积为 考虑由连续曲线 y = f( x ),直线 x = a ,x = b 及 x 轴围 成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积 V y . 由直观容易看出有 选择 x 作积分变量， 任取[ x ,x + d x ]?[ a ,b ]， 考虑该小区间所对应的 小曲边梯形绕 y 轴旋转 一周所成的环形薄壳旋 转体体积 ? Vy . 剥壳法 小圆环形薄壳旋