考研数学基础班讲义.doc

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考研数学基础班讲义

----高等数学---- 第一章 函数、极限、连续  函数是微积分的研究对象,极限是微积分的理论基础,而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。 第一节 数列极限与函数极限   【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限;无穷小和无穷大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则;单调有界准则和夹逼准则;两个重要极限:   ;   洛必达()法则。   【大纲要求】理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系;掌握极限的性质及四则运算法则;掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限;掌握利用两个重要极限求极限的方法;理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限;掌握用洛必达()法则求未定式极限的方法。   【考点分析】数列极限的考点主要包括:定义的理解,极限运算法则的理解,单调有界准则和夹逼准则求极限,利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括:用洛必达法则求未定式的极限,由已知极限求未知极限,极限中的参数问题,无穷小量阶的比较等等。   一、数列的极限   1.数列的极限   无穷多个数按一定顺序排成一列:称为数列,记为数列,其中称为数列的一般项或通项。设有数列 和常数A。若对任意给定的,总存在自然数,当nN时,恒有,则称常数A为数列的极限,或称数列收敛于A,记为或。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列,其极限存在且唯一。   2.极限存在准则   (1)定理(夹逼定理)设在的某空心邻域内恒有,且有, 则极限存在,且等于A .注对其他极限过程及数列极限,有类似结论.   (2)定理:单调有界数列必有极限.   3.重要结论:(1)若,则,其中为任意常数。   (2)。(3)。   【考点一】(1)单调有界数列必有极限.   (2)单调递增且有上界的数列必有极限,单调递增且无上界的数列的极限为+∞.   (3)单调递减且有下界的数列必有极限,单调递减且无下界的数列的极限为-∞.   【评注】(1)在应用【考点一】进行证明时,有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分,需要及时进行调整证明次序。   (2)判定数列的单调性主要有三种方法:   Ⅰ计算. 若,则单调递增;若,则单调递减。   Ⅱ当时,计算. 若,则单调递增;若,则单调递减。   Ⅲ令,将n改为x,得到函数。若可导,则当时,单调递增;当时,单调递减。   【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.   【答疑编号911010101】   1.X00   ∵X00 ,   假设 Xn0 , n≥2 ∵ Xn0 ,   ∴假设成立   ∵ Xn0 ,   ∴, n≥1   ,n≥1 时   ∵                     ∴Xn+1≤Xn 且   令,   因为,由极限的保号性知   令n→∞,         ↓            ∵  ∴a2=2     【例2·证明题】设f(x)是区间上单调减少且非负的连续函数,   ,证明数列的极限存在。   【答疑编号911010102】   例2 ∵f(x)↓且 f(x)≥0      =      ∵ f(x)↓            又∵ f(x)≥0   ≥0                                   ≤0   ∴ an≥0 , 且an+1≤an          ↓   存在   【考点二】(夹逼准则)设有正整数,当时,,且,则.   【评注】在使用夹逼准则时,需要对通项进行“缩小”和“放大”,要注意:“缩小”应该是尽可能地大,而“放大”应该是尽可能地小,在这种情况下,如果仍然“夹”不住,那么就说明夹逼准则不适用于这个题目,要改用其他方法。   【例3·计算题】计算极限:   【答疑编号911010103】   例3   ∵   ∴ SinX≥0 ,   ∴   ∴   根据积分的不等式定理若在[a ,b] f(x)≥g(x),则。   ∴   ∴    ↓    ↓     ↓ 令n→∞0    0      0      (取右端点)      (取左端点)   【考点三】用定积分的定义计算和式的极限:由定积分的定义知,当连续时,有,      【例4·计算题】求下列极限:   【答疑编号911010104】               【例5·选择题】等于( )         【答疑编号911010105】       【考点四】设,则。也就是说,将数列中的正整数改为连续变量,令,则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重要。      【

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