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考研数学基础班讲义
----高等数学----
第一章 函数、极限、连续 函数是微积分的研究对象,极限是微积分的理论基础,而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。
第一节 数列极限与函数极限
【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限;无穷小和无穷大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则;单调有界准则和夹逼准则;两个重要极限: ; 洛必达()法则。 【大纲要求】理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系;掌握极限的性质及四则运算法则;掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限;掌握利用两个重要极限求极限的方法;理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限;掌握用洛必达()法则求未定式极限的方法。 【考点分析】数列极限的考点主要包括:定义的理解,极限运算法则的理解,单调有界准则和夹逼准则求极限,利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括:用洛必达法则求未定式的极限,由已知极限求未知极限,极限中的参数问题,无穷小量阶的比较等等。 一、数列的极限 1.数列的极限 无穷多个数按一定顺序排成一列:称为数列,记为数列,其中称为数列的一般项或通项。设有数列 和常数A。若对任意给定的,总存在自然数,当nN时,恒有,则称常数A为数列的极限,或称数列收敛于A,记为或。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列,其极限存在且唯一。 2.极限存在准则 (1)定理(夹逼定理)设在的某空心邻域内恒有,且有, 则极限存在,且等于A .注对其他极限过程及数列极限,有类似结论. (2)定理:单调有界数列必有极限. 3.重要结论:(1)若,则,其中为任意常数。 (2)。(3)。 【考点一】(1)单调有界数列必有极限. (2)单调递增且有上界的数列必有极限,单调递增且无上界的数列的极限为+∞. (3)单调递减且有下界的数列必有极限,单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 【评注】(1)在应用【考点一】进行证明时,有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分,需要及时进行调整证明次序。 (2)判定数列的单调性主要有三种方法: Ⅰ计算. 若,则单调递增;若,则单调递减。 Ⅱ当时,计算. 若,则单调递增;若,则单调递减。 Ⅲ令,将n改为x,得到函数。若可导,则当时,单调递增;当时,单调递减。 【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限. 【答疑编号911010101】 1.X00 ∵X00 , 假设 Xn0 , n≥2 ∵ Xn0 , ∴假设成立 ∵ Xn0 , ∴, n≥1 ,n≥1 时 ∵ ∴Xn+1≤Xn 且 令, 因为,由极限的保号性知 令n→∞, ↓ ∵ ∴a2=2 【例2·证明题】设f(x)是区间上单调减少且非负的连续函数, ,证明数列的极限存在。 【答疑编号911010102】 例2 ∵f(x)↓且 f(x)≥0 = ∵ f(x)↓ 又∵ f(x)≥0 ≥0 ≤0 ∴ an≥0 , 且an+1≤an ↓ 存在 【考点二】(夹逼准则)设有正整数,当时,,且,则. 【评注】在使用夹逼准则时,需要对通项进行“缩小”和“放大”,要注意:“缩小”应该是尽可能地大,而“放大”应该是尽可能地小,在这种情况下,如果仍然“夹”不住,那么就说明夹逼准则不适用于这个题目,要改用其他方法。 【例3·计算题】计算极限: 【答疑编号911010103】 例3 ∵ ∴ SinX≥0 , ∴ ∴ 根据积分的不等式定理若在[a ,b] f(x)≥g(x),则。 ∴ ∴ ↓ ↓ ↓令n→∞0 0 0 (取右端点) (取左端点) 【考点三】用定积分的定义计算和式的极限:由定积分的定义知,当连续时,有, 【例4·计算题】求下列极限: 【答疑编号911010104】 【例5·选择题】等于( ) 【答疑编号911010105】 【考点四】设,则。也就是说,将数列中的正整数改为连续变量,令,则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重要。 【
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