新步步高高考数学（浙江专用）专题复习：第54练Word版含答案.docVIP

训练目标 能熟练应用平行、垂直的有关定理及性质证明平行、垂直问题. 训练题型 (1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件. 解题策略 用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用. 1．(2015·苏州上学期期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点． 求证：(1)EF∥平面C1BD； (2)A1C⊥平面C1BD. 2.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点， DE⊥PA. (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAC⊥平面PDE. 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E、F分别为PC、BD的中点． (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PDC. 4．(2015·北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． (1)求证：BD⊥平面ACC1A1； (2)求证：直线AB1∥平面BC1D； (3)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由． 5．(2015·北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2. (1)求证：BE1⊥DC； (2)求证：DM∥平面BCE1； (3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由． 答案解析 1．证明　(1)如图，连接AD1， ∵E，F分别是AD和DD1的中点， ∴EF∥AD1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， AB∥D1C1，AB＝D1C1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形， 即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1. 又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD， ∴EF∥平面C1BD. (2)如图，连接AC，则AC⊥BD. ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴AA1⊥BD. 又AA1∩AC＝A，AA1?平面AA1C，AC?平面AA1C， ∴BD⊥平面AA1C，A1C?平面AA1C， ∴A1C⊥BD. 同理可证A1C⊥BC1. 又BD∩BC1＝B，BD?平面C1BD，BC1?平面C1BD， ∴A1C⊥平面C1BD. 2．证明　(1)如图，取PD中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD. 又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE＝CD. 所以AE∥FG，AE＝FG. 所以四边形AEFG为平行四边形． 所以EF∥AG，又EF?平面PAD，AG?平面PAD， 所以EF∥平面PAD. (2)设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点，得＝＝， 又因为AB＝，BC＝1， 所以AC＝，AH＝AC＝. 所以＝＝，又∠BAC为公共角， 所以△HAE∽△BAC. 所以∠AHE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC. 又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以DE⊥平面PAC. 又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE. 3．证明　(1)如图，连接AC，则AC∩BD＝F， 因为四边形ABCD为正方形， 所以F为AC的中点， 又E为PC的中点， 所以在△CPA中，EF∥PA. 又PA?侧面PAD，EF?侧面PAD， 所以EF∥侧面PAD. (2)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD， 因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD?底面ABCD， 所以CD⊥侧面PAD. 又PA?侧面PAD，所以CD⊥PA. 又PA＝PD＝AD， 所以△PAD是等腰直角三角形， 且∠APD＝，即PA⊥PD. 因为CD∩PD＝D，且CD?侧面PDC，PD?侧面PDC， 所以PA⊥侧面PDC. 又PA?侧面PAB，所以侧面PAB⊥侧面PDC. 即平面PAB⊥平面PDC. 4．(1)证明　因为三棱柱的侧面是正方形， 所以CC1⊥BC，CC1⊥AC，BC∩AC＝C，BC?底面ABC，AC?底面ABC， 所以CC1⊥底面ABC. 因为BD?底面ABC，所以CC1⊥BD. 由已知可得，底面三角形ABC为正三角形． 因为D是AC中点，所以BD⊥AC. 因为AC∩CC1＝C，AC?平面ACC1A1，CC1?平面ACC1A1， 所以BD⊥平面ACC1A1. (2)证明