新步步高高考数学（浙江专用）专题复习：第55练Word版含答案.docVIP

训练目标 (1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题. 训练题型 (1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离. 解题策略 利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解. 一、选择题 1.(2015·上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2．(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 4．(2015·丽水二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为平面ABB1A1的中心，则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________． 5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为________． 6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题： ①异面直线C1P与CB1所成的角为定值； ②二面角P－BC1－D的大小为定值； ③三棱锥D－BPC1的体积为定值； ④异面直线A1P与BC1间的距离为定值． 其中真命题的个数为________． 三、解答题 7．(2015·浙江名校交流卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO. (1)求证：PB∥平面COD； (2)求二面角O－CD－A的余弦值． 8．(2015·宁波二模)如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点． (1)求证：EP⊥AC； (2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值． 9．(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q. (1)试确定Q的位置并证明； (2)求四棱锥P－ABCD被平面α所分成上下两部分的体积之比； (3)若PA＝2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值． 答案解析 1．D　[设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，则由等体积法可得 ××a·a·h＝×a·a·a， ∴h＝a. 又∵PB＝a，∴sin α＝， 又∵α∈(0，)，∴cos α＝.故选D.] 2．C　[如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP. 因为E为PC中点，所以OE∥PA， 所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角． 因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥， 所以PO⊥平面ABCD， 所以AO为PA在平面ABCD内的射影， 所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角， 即∠PAO＝60°. 因为PA＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1. 所以在直角三角形EOB中，∠OEB＝45°， 即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.] 3．A　[作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示． ∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面ASD，且平面SBC∩平面ASD＝SD.在平面ASD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin 60°＝a.由＝，得AH＝＝＝，即点A到平面SBC的距离为.] 4. 解析　 如图，过点M作BB1的垂线，垂足为N， 则MN⊥平面BB1C1C， 连接NC1， 则∠MC1N为MC1与平面BB1C1C所成的角． 设正方体的棱长为2a， 则MN＝a，NC1＝a， 所以tan∠MC1N＝. 5．60° 解析　取BC的中点O，连接SO，AO， 因为AB＝AC，O是BC的中点， 所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC， 所以∠SOA是二面角S－BC－A的平面角． 在△AOB