第四章第一节数学期望2016重点.ppt

设随机变量(X,Y)的概率密度 解 例12 三、数学期望的性质 (1) 设C是常数, 则E(C)=C. (2) 设X是一个随机变量, C是常数, 则有 E(CX)=CE(X). 证 证 ☆ 此性质可推广到任意有限个随机变量之和. (3) 设X,Y是两个随机变量, 则有 E(X Y)=E(X) E(Y). (4) 设X,Y是相互独立的随机变量, 则有 E(XY)=E(X)E(Y). 证 ☆ 可推广到多个相互独立的随机变量. 例14 解 例15 证 设X～B(n,p),由二项分布的定义知, 随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验中A发生的概率为p. 引入随机变量 易知 X=X1+X2+...+Xn, (1)由于Xk只依赖于第k次试验, 而各次试验相互独立, 于是X1,X2,...,Xn相互独立. 又知Xk,k=1,2,...,n服从同一(0-1)分布: (1)式表明以n,p为参数的二项分布变量, 可分解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和. 由E(Xk)=p,则 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立). 引入随机变量 现在来求E(X). 例16 解 易知 X=X1+X2+...+X10. 按题意, 任一旅客在第i站不下车的概率为9/10. 由此 进而 设一电路中电流I(A)与电阻R(W)是两个相互独立的随机变量, 其概率密度为 试求电压V=IR的均值. 解 例18 小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征： 方 差 高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) —— 概率论与数理统计 脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民 第四章 数字特征 理解数学期望概念，掌握它的性质与计算。 理解方差概念，掌握它的性质与计算。 掌握（0－1）分布，二项分布，泊松分布，正态 正态分布，指数分布的数学期望与方差。 掌握协方差、相关系数的概念及计算。 了解矩、协方差矩阵的概念。 通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数值来反映随机变量在某个方面的特征, 这些数值常称为随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望、 方差、协方差和相关系数. 例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只 要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉 花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤 维长度与平均长度之间的偏离程度, 等等.实际上,描 述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理 论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简 洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质. r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 第一节 数学期望 一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 一、随机变量的数学期望 数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均值(everage value)它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严格的平均值 解 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk, k=1,2,....若级数 绝对收敛,则称此级数的和为随机变量X 的数学期望,记为E(X).即 定义1 数学期望简称期望, 又称为均值. 例1 解 例2 解 例3 解 常见 r.v. 的数学期望 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 设连续型随机变量X 的概率密度为 f(x), 若积分 绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数学期望,记为E(X). 即