(偏微分课设.docxVIP

一维热传导方程问题介绍考虑一维热传导方程：（1） 其中a是正常数，是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy问题）：求具有所需次数偏微商的函数，满足方程（1）（）和初始条件：（2） 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数，满足方程（1）（）和初始条件：（3）及边值条件(4) 假定在相应区域光滑，并且在满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长和时间步长，其中N,M都是正整数。用两族平行直线：将矩形域分割成矩形网格，网格节点为。以表示网格内点集合，即位于开矩形G的网点集合；表示所有位于闭矩形的网点集合；=--是网格界点集合。离散格式第k+1层值通过第k层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。第k+1层值不能通过第k层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。显格式。第k+1层值不能通过第k层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。向前差分格式（5）， ， ，其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1。以表示网比。则方程（5）可以改写为：易知向前差分格式是显格式。向后差分格式（6）， ，其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。六点对称格式（Grank-Nicolson格式）将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式：（7） =利用和边值便可逐层求到。六点对称格式是隐格式，由第k层计算第k+1层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。将其截断误差于（=）展开，则得= 。Richardson格式（8） ，或（9）。这是三层显示差分格式。截断误差阶为。为了使计算能够逐层进行，除初值外，还要用到，这可以用前述二层差分格式计算（为保证精度，可将[0,]分成若干等份）。格式稳定性通过误差估计方程（1） 可知对任意的r ，Richardson格式都不稳定，所以Richardson格式绝对不稳定。（2） 当时，向前差分格式趋于稳定；当时，向前差分格式的误差无限增长。因此向前差分格式是条件稳定。（3） 向后差分格式和六点对称格式都绝对稳定，且各自的截断误差阶分别为和。五、 数值例子 令f(2)=0 ，a 从函数中输入 u（x,t）=1-x; 其边值条件u(o,t)=1,u(1,t)=0用的是Richardson格式 程序代码： #includeiostream#define Max_size 1000 using namespace std;double v[Max_size][Max_size],u[Max_size][Max_size], exc[Max_size][Max_size], a[Max_size], c[Max_size],f[Max_size],b[Max_size], y[Max_size],beta[Max_size],Err[Max_size]; int n, m; double Realvalue(double a) { double c; return c=1-a; }void catchup(){int i;beta[1]=c[1]/b[1];for(i=2;in;i++)beta[i]=c[i]/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);y[1]=f[1]/b[1];for(i=2;i=n;i++)y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);u[n][1]=y[n];for(i=n-1;i0;i--)u[i][1]=y[i]-beta[i]*u[i+1][1];} int main(){double h,t,r,f1;cout 请输入 n 地值 endl;cinn;cout 请输入 m 的值 endl;cinm;cout 请输入网格比系数 a 的值 endl;cinf1;h=1.0/(n+1);t=1.0/(m+1);r=(f1*t)/(h*h);for(int k=0; km+1;k++) for(int j=1; j=n+1;j++) v[j][k]=Realvalue(j*h);//真实值 for(int i=0;i=n+1;i++)//初值条件{u[i][0]=Realvalue(i*h); } for(k=0;k=m+1;k++)//边值条件{u[0][k]=Realvalue(k*t);u[n+1][k]=Realvalue((n+1)*h+k*t);} b[1]=1+r; c[1]=-r/2;a[n]=-r/2;b[n]