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质心的概念与物理规律的简化 [摘要]：本文以两个质点构成的系统为例，讨论了质心概念的由来以及质心的性质。并说明了质心在物理规律简化过程中所起到的作用，以及用质心处理问题时应该注意的问题。 [关键词]：质心，物理规律，简化，科尼希定理，牛顿定律 [正文]： 1．牛顿运动定律 牛顿第一定律：一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动或静止状态物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。或或 牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。 2．牛顿运动定律应用于质点系 如图1所示，质点1、2构成系统。用表示系统外对质点1作用的综合效果，表示系统外对质点2作用的综合效果。表示质点1对质点2的作用力，表示质点2对质点1的作用力。 对质点1应用牛顿第二定律有： 对质点2应用牛顿第二定律有： 上面的两个方程式相加有： 由于，所以上面的方程可以化简为： 这是应用于系统的牛顿第二定律。它说明用整体法分析系统时可不考虑系统内物体间的相互作用，外力的矢量和等于系统内各物体的质量与相应的加速度的乘积的和。 3．质心的概念 由上面得到的应用于系统的牛顿第二定律可知： 上面的表达式中，出现的量具有长度的量纲，若定义它为质点系的质心，并用表示。即： 则应用于系统的牛顿第二定律可简化为： 若用表示系统受到的合外力，m表示质点系的总质量，则可写为： 它与单个质点的牛顿第二定律有着同样简洁的形式。这要归功于质心概念的引入。 4．质心的性质 性质1：二质点的质心在二者连线上，且质心到二质点的距离与两者的质量成反比。 要证明质心在二质点的连线上，只需要证且。证明如下： 这说明平行于，且。 这就证明了上面论断的第一点，即质心在二者的连线上。下面证明论断的第二点： 质心到质点2与质点1的距离比为： 至此，我们证明了性质1。 性质2：将二质点以轻杆相连，在质心处建立支点，则此杠杆平衡。 如图2所示，设重力沿着y轴的负方向。二质点连线与水平方向所成的角为，要证明杠杆平衡，只需要证明： 将、代入上式可得： 显然等上式的两边是相等的，命题得证。 5．质心与重心 与质心类似的，可以定义重心为 当时，重心的表达式可化为： 它与质心的表达式完全相同，其实我们正是明确了上面质心的性质2才这样定义重心的。这说明在均匀的重力场中，重心位置和质心位置是重合的。因此必然的有类似于质心性质的关于重心的性质1和性质2。 在不均匀的重力场中，物体的质心和重心往往是不重合的。 6．动量定理 由知： 可称其为质点的动量定理，将此规律应用于质点系有： 两式相加有： 即： 上式表明质点系动量的微分等于外力的矢量合的冲量，与系统内物体间的相互作用力的冲量无关。若用F表示外力的矢量合，用m表示质点系的总质量，表示质心的速度，则质点系的动量定理可简单表示为： 它与质点的动量定理有着相同的简单形式。 7．动能与功的定义 由牛顿第二定律知： 两边消去有： 定义为元功，定义为质点的动能，则：元功等于质点动以的微分，在物理学中这个规律叫做动能定理。 若将动能定理应用于质点系，由于系统内力的功，即相互作用力的功的代数和有各种可能性，它不一定为零，因此与质点系的动量定理不同，它必须考虑内力的功。 8．柯尼希定理 质点系的动能定义为各质点的动能的和。那么，质心的动能和物体的动能间存在怎样的关系呢？ 可见，质点系的动能毛病地质心的动能再加上各质点相对于质心的动以。只有，为常矢，即质点系中各质点相对质心的位置不动（质点系平动）时，质点系的动以才等于质心的动能。 9．质点系的重力势能 质点系的重力势能定义为各质点重力势能的和。 这说明质点系的重力势能等于重心的重力势能。这是和质点系动能不一样的，应该引起重视。 二○一一年六月中旬 1 1 2 F1 F2 图1 m1 r1 r2 O y x m2 图2