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《数值分析迭代法在传热学中的应用》研究 问题描述 一、《迭代法》描述 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 分别是向量及的第个分量 分析：设 2线性方程组迭代法的收敛性 为了讨论迭代的收敛性引进误差向量 由此可见：考察的收敛性 就要研究在什么条件下有： 亦即要研究满足什么条件是有： （零矩阵）（） 设为阶方阵的特征值， 的谱半径定义为： 的谱定义为： 则： 定理：2 设，则（零矩阵）的充要条件是：。 定理：3 （迭代法基本定理）。 及一届定常迭代法：。 对任意选取初始向量，迭代法收敛的充要条件是： 。 3非线性方程迭代法的收敛性 设方程有根，且在的某个邻域,内有一阶连续导数，则 当时，迭代格式局部收敛。 当时，迭代格式发散。 三 《迭代法》的原理 对于线性方程组 其中：A为非奇异矩阵， 当A的阶数很高时，再选用主消元法解此方程就非常困难了。这时用迭代法，然后用计算机进行运算就非常快捷方便了。[2]下面举简例说明迭代法的思想。 求解线性方程组 记为，其中 , , 此方程的精确解为现将方程改写为： 或写为：，其中 , 我们可以建立如下迭代公式 简写为， 其中表示迭代次数（=0,1,2,3…） 迭代到第10次有 从此例看出，由迭代法产生的向量序列逐步逼近此方程组的精确解。 四、《迭代法》国外研究进展 牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。?拉福生亦提出了类似的方法，而它们的结合就成为现代常用的方法──牛顿法，亦称为切线法。 这是一种广泛用于高次代数方程和方程组求解的迭代法，一直为数学界所采用，并不断创新，如修正牛顿法及拟牛顿法等。1797年，高斯给出了「代数基本定理」，证实了高次代数方程根的存在性。数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔左右发明龙格－库塔法（Runge-Kutta）用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。策略迭代法最初是由R. 贝尔曼提出的。?1960年，RA霍华德对于一种马尔可夫决策过程模型，提出了适用的策略迭代法，给出了相应的收敛性证明。 后来，发现策略迭代法和牛顿迭代法在一定条件下的等价性，于是，从算子方程的牛顿逼近法的角度去研究策略迭代法得到了发展1964年徐利治进行方程求根方法研究时发现了一种“大范围收敛迭代法”（后来国际上称为“ 平方根迭代法”）988年周培源先生提出以逐级迭代法代替逐级逼近法，经初步计算，理论与实验符合得很好。 这个逐级迭代法可以推广到高级近似中去，并用来求解其他发展了的湍流运动，而且在得到脉动速度之后，任何阶的速度关联都可简捷地计算出来。988年，高策理利用整体迭代法和压缩映像原理，证明非线性抛物方程外问题整体解的存在唯一性。1991年ADGunawardena等人首先提出了以I+S为预处理子的Gauss-Seidel型迭代法比基本的迭代法有较好的收敛性 文章提出以阶梯矩阵作预处理子的Gauss-Seidel型迭代法文中给出了收敛定理并以数值例子说明文章的方法比基本的迭代法及ADGunawardena等人的方法有较好的收敛率Jacobi迭代法、G-S迭代法和松弛迭代法等。对于非线性方程我们有一般迭代法、区间二分法、牛顿迭代法、牛顿下山法等。对于常微分方程我们有Euler法、龙格—库塔(Runge—Kutta)方法等。 《迭代法》的研究 一、线性方程组的迭代法 (1)Jacobi迭代法 设，并将写成三部分 由，选取为的对角元素部分，