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北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 课程编号 课程名称：数学分析 课程类型：数、统/必修课 每周3学时，3学分 先修要求：高等数学（两学期） 基本目的： 实数与极限的理论、函数的可积性、函数列与函数级数一致收敛性的基本知识。 培养学生的抽象思维和推理能力，加深学生对微积分的理论基础的了解，为进一步学习后续数学课程作必要的理论准备。 内容提要： 一. 实数与极限的理论 1.实数理论初步。 2.确界存在定理，区间套定理，聚点。 3.紧性定理（序列紧，有限覆盖，一致连续）。 4.完备性（哥西基本列，实数的另一种定义）。 5.上极限与下极限。 二．连续函数 1. 连续函数的基本性质 2. 闭区间上连续函数的性质 3.一致连续。 三. 函数的可积性 达布和，上积分与下积分。 函数可积分的充要条件。 四. 函数列与函数级数的一致收敛性 北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 一致收敛性及其判别法。 一致收敛函数列极限函数的性质。 教学方式：课堂讲授 教材或参考书： 1.教　材：?数学分析?（双学位）讲义 伍胜健 2.参考书：?数学分析简明教程?　邓东皋等　　 高等教育出版社 课程编号 课程名称：实变函数课程类型：数、统/必修课 每周2学时，2学分 先修要求：高等数学，线性代数 基本目的： 1.熟悉欧氏空间中Lebesgue 测度，Lebesgue 积分的基本理论。 2.掌握L2（Rn） 空间理论。 3.熟悉Hilbert空间，Banach空间的基本理论。 内容提要： 1.Lebesgue测度与Lebesgue 积分： Lebesgue 可测集，可测函数，Lebesgue 积分， Lebesgue积分的极限定理。 2.L2（Rn）空间： L2 空间的基本理论 教学方式：课堂讲授 教 材：《实变函数与泛函分析》 郭懋正 北京大学出版 学生成绩评定：平时作业15分，期中考试25分，期末考试60分。 北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*---------------课程编号 课程名称：概率论课程类型：数、统/必修课 每周4+1学时，5学分 先修要求：微积分，线性代数（或相当高等数学）基本目的：　　1. 本课程的目的是引导学生学习用数学的语言，来刻划、表达与抽象随机现象，着重在随机现象的“建模”。同时，这一课程也使学生对已学过的集合论、微积分、高等代数等数学知识有运用的机会，在提高学生分析问题，解决问题的能力方面是一个很好操练机会。　　2. 重点放在随机现象的刻划，形成概率空间的概念。例如在概率空间这一部份，重在由等可能性分析过到一般的概率空间。对随机变量，重点也在要学生掌握它的统计特征的刻划方法。对于古典概型不宜过多陷于排列组合的计算技巧。 内容提要：　　1. 随机事件及其概率 　　　1) 概率的素朴定义。　　　2) 古典概型。　　　3) 事件的集合表达，事件运算与集合运算的对应。　　　4) 概率的加法公式。　　　5) 概率的公理化定义及概率的主要性质。 6) 条件概率（对正概率事件的条件概率）与全概公式。 7) 独立性。 2.随机变量 1) 离散型随机变量及其取值机会的描述。 北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 　　 2) 连续型随机变量及其取值机会的描述。　　 3) 分布函数。　　 4) 随机变量函数的分布（简单情形）。 5) 随机变量定义的抽象。 3.n维随机变量（向量）1) n维随机向量统计特征的刻划。2) 联合分布与边缘分布。3) 独立性。4) 随机变量函数的分布（多维）。5) n维正态分布。6) 条件分布。7) 次序统计量。 4.随机变量和随机向量的数字特征1) 期望（概率加权平均概念的抽象）。2) 随机变量函数的期望公式。3) 方差、协方差与相关系数。4) 条件期望。 5.概率极限定理 1) 大数定律与切比雪夫不等式，强大数律（结果与概念）。 2) 中心极限定理。 6.随机过程 1）独立增量过程。 2）马尔可夫链。 北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 3）分支过程。 4）平稳过程。教学方式：课堂教学教 材： 《 概率与统计》 陈家鼎 郑忠国 北京大学出版社（07、8）参考书: 《概率统计讲义》 陈家鼎等编 高等教育出版社 《概率论基础教程》 S﹒M﹒Ross著，郑忠国等译 人民邮电出版社