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第42届IMO第二题的溯源、推广及其它 蒋明斌 ( 四川省蓬安中学，四川 蓬安 637851)?? 第42届IMO(2001年)第二题为：设a、b、cR(下文中的a、b、c意义与此同，不再说明)，则 (1) 近期已有多篇文章研究了此题的证明与推广(如[1]－[10])，本文将首先追溯此题的源头，然后给出(1)及其相关不等式的推广。 一、试题溯源 此题源头最早可追溯到1968年A.Zulauf在文[11]对于修改循环和 g (x，x，…，x)=，(x(i=1,2,…,n),n3，x=x，x= x，下文中的x意义与此同，不再说明)建立的不等式 1 g (x，x，…，x) n－1 (2) 特别地，当n=3时(2)为： x、y、zR(下文中的x、y、z意义与此同，不再说明)，则 (2.1) 由(2)左边的不等式可以得到 1 (3) 设a0(i=1,2,…,n)，在 (3)中令 ，，…，…，， (4) 则得文[12]中的不等式： ＋＋…＋＋…＋ 1 (3.1) 当n=3时，(3.1)为 (3.2) (3.2)显然等价于[13]中给出的不等式： 1 (3.3) 加强(3.2)即得到第42届IMO(2001年)第二题即不等式(1)。很显然(1)等价于 1 (5) 顺便指出，(3.1)也是一道竞赛题；同时在(1)中令,且 0 (i=1,2…,n), ,，由左边的不等式可得第26届(1985年) IMO的一道备选题： n－1 (2.2) 二、试题即不等式(1) 的推广 文[4]-[8]给出了(1)的一个推广： 设a、b、cR,8，则 (6) 很显然，当0 8时，我们有　 1 (7) [8]、[10]还将(6)推广到n个的情形： 设a 0（i=1,2,…,n），则当－1时，有 　　(8) 与(7)类似，当0－1时，我们有 1 (9) 考虑 (6)、(7)式中各项的指数推广，我们有 猜想１：(I)　当3－1且 0；或 0时，有 ()＋()＋() (10) (II)　 当0 3－1且 0时，有 ()＋()＋() 1 (11) 此猜想等价于 猜想：设a、b、c、R, 则 (I) 当log3;或 0时, (10) 成 立;(II) 当0 log3时,(11)成立。 将猜想1、猜想推广到n个的情形有 猜想２：设 0 (i=1,2…,n), ,,R，则 (I)　当n－1且 0；或 0时，有 (12) (II)　当0 n－1且 0时，有 1 (13) 猜想：设 0 (i=1,2…,n), ,,R，则 (I)当logn,或 0时,(12)成立;(II)当0 logn时 (13)成立. 注记：在 (12)中取=,= n－1= n－1(m,n N,m2, n3)可得到罗增儒教授在[9]给出的(1)的一个推广(即[9]的推广3(1))： 1 (14) 作变换 ，知(14)等价于(即[9]的推广3(2)): 1 (15) 三、不等式(1) 左边的上界及其推广 2000年11月，刘保乾在[14]中通过增大或减少各项的指数得到如下的猜想不等式： (16) 吴善和,舒金根,李建潮用不同的方法先后给出了(16)的证明。 安振平在文[19]给出了(16)的一个类似不等式