[2.14定积分与微积分的基本定理副本.docVIP

[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等． 3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等． 4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等. [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． (2)定积分的几何意义 当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． 一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质 kf(x)dx＝kf(x)dx. [f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx. [探究]　1.若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)dt是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分[f(x)－g(x)]dx(f(x)g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即 f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)． [自测·牛刀小试] 1.dx等于(　　) A．2ln 2　　　　　　　　　B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 解析：选D　dx＝ln x＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　S＝(t2－t＋2)dt＝＝. 3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：x2dx＝x3＝. 答案： 4．(教材改编题)dx＝________. 解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以 dx＝π. 答案：π 5．由曲线y＝，直线y＝－x＋所围成的封闭图形的面积为________． 解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A，B，所以阴影部分的面积， dx＝ ＝－2ln 2. 答案：－2ln 2 利用微积分基本定理求定积分 [例1]　利用微积分基本定理求下列定积分： (1)(x2＋2x＋1)dx；(2)(sin x－cos x)dx； (3)x(x＋1)dx；(4)dx； (5) sin2dx. [自主解答]　(1)(x2＋2x＋1)dx＝x2dx＋2xdx＋1dx＝＋x2＋x＝. (2)(sin x－cos x)dx ＝sin xdx－cos xdx ＝(－cos x)－sin x＝2. (3)x(x＋1)dx＝(x2＋x)dx ＝x2dx＋xdx＝x3＋x2 ＝＋＝. (4)dx＝e2xdx＋dx ＝e2x＋ln x＝e4－e2＋ln 2－ln 1 ＝e4－e2＋ln 2. (5) sin2 dx＝dx ＝dx－cos xdx ＝x－sin x＝－＝. ——————————————————— 求定积分的一般步骤 计算一些简单的定积分，解题的步骤是： (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值． 1．求下列定积分： (1)|x－1|dx； (2) dx. 解：(1)|x－1|＝ 故|x－1|dx＝(1－