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10 05 大数定律和中心极限定理 一、切比雪夫不等式 1.定理：设随机变量具有数学期望，则对于任意正数，不等式 成立。这一不等式称为切比雪夫不等式。 2.说明：（1）切比雪夫不等式也可以写成如下形式： （2）切比雪夫不等式常常用来粗略估计随机变量在某个区间的概率。 二、大数定律 1.贝努利大数定律： 设试验是可重复进行的，事件在每次试验再出现的概率，将试验进行次，用表示其中事件出现的次数，则对于任意正数，有 或 说明：当充分大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，由实际推断原理，在应用中，当试验次数很大时，可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。 2.切比雪夫大数定律的特殊情况： 设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：，对于任意，有 其中 。 说明：此定理说明：个随机变量的算术平均值当时依概率收敛于。 3. 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有 4. 辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有 三、中心极限定理 1.独立同分布序列的中心极限定理 设是.独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差，记随机变量的分布函数，则对于任意的实数有 = 或 此定理说明： （1）或 （2） 2.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设随机变量是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件发生的概率，则对于任意的实数 =或 其中 此定理说明： （1） 或 （2） 三、泊松定理 若当，则 其中k=0，1，2，…，n，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。 常见题型 大数定律 1..设随机变量X的E（X）=,D(X)=，用切比雪夫不等式估计（　　　） A. B. C. D.1 2．设是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的，均有（ ） =0 B．=1 C． 0 D．不存在 3.设随机变量X的E(X)=,用切比雪夫不等式估计P(|) ___________。 4.．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε0，样本均值所满足的切比雪夫不等式为（ ） A．P≥ B．P≥1- C．P≤1- D．P≤ 5．设X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，且E（Xn）=0，则 = 。 例6.设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, …），则下列中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是： （A）X1，X2，…，Xn，…； （B）X1，22X2，…，n2Xn，… （C）X1，X2/2，…，Xn/n，…； （D）X1，2X2，…，nXn，… 2、中心极限定理 7.设且P(A)=0.8,相互独立,令Y=则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（　　　） A.N(0,1) B.N(8000,40) C.N(1600,8000) D.N(8000,1600) 8．设X1，X2，…，Xn，…为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ（λ1）的指数分布，记Φ（x）为标准正态分布函数，则有（　　　） A． B． C． D． 9 .设相互独立的随机变量序列X1，X2，…，Xn，…服从相同的概率分布，且E（Xi）=μ， D（Xi）=σ2,记，Φ（x）为标准正态分布函数，则=（ ） A.Φ（1） B.1-Φ（1） C.2Φ（1）-1 D.1 10. 设随机变量X1，X2，…，Xn,…相互独立同分布，且Xi的分布律为 Xi 0 1 ， P 1-p p i=1,2,…,为标准正态分布函数，则（ ） A．0 B．1 C． D．1- 11. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占20%。以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 写出X的概率分布； （2）利用棣美佛-拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 [附表]Φ（x）是标准正态分布函数。 12. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。(Φ（x）是标准正态分布函数。) 解： 每辆车最多可以装98箱，才能保障不超载的概率大于0.977.