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多解比较 训练思维 渭南高级中学 赵春发在教学中，通过一题多解的训练，可以开阔学生的思路，培养其多方位思考、分析问题的能力，使其养成勤思善研的好习惯。同时，还可以让学生加深对所学知识的理解和巩固。面对多种解法，进行择优比较，选取最佳解题方案，也能提高学生思维的灵活性和敏捷性。 面对题目，该怎样入手分析解决？下面我举几例具体说明： 例1：过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相于A、B两点，自AB向其准线作垂线，垂足分别为A′，B′。 求证：∠A′FB′=90° 解法一：以抛物线的定义为切入点由抛物线定义知： ∴∠AA′F=∠AFA′ ∴∠BB′F=∠BFB′ 又AA′⊥y轴，BB′⊥y轴 ∴AA′∥x轴∥BB′ ∴∠AA′F=∠A′FO ∴∠BB′F=∠B′FO ∴∠AFA′+∠A′FO+∠B′FO+∠BFB′ =2（∠A′FO+∠B′FO） =2∠A′FB′=180° ∴∠A′FB′=90° 解法二：从两直线垂直时斜率关系入手，证KA′F·KB′F=－1 设直线AB方程为A（x1,y1）B(x2,y2) 由 得 y1y2= 又 ∴ ∴ ∴A′F⊥B′F 即∠A′FB′=90° 解法三：向量法，即证 设又F（，0） ∴ ∴ 又（具体证法见解法二） ∴ ∴ ∴∠A′FB′=90° 解法四：，联想射定理证 设准线交x轴于点则 ∴， ∵ ∴ 即 ∴∠A′FB′=90° 例2：已知P为双曲线左支上任一点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，求的最小值 解法一：利用余弦定理和定义构造目标函数。由定义…① 设∠F1PF2= 当时，据余弦定理有：② 时，②式也成立 又=2c ③ 联立①②③解得： 又 ∴ ∴ 当有最小值b2。 解法二：利用焦半径公式构造目标函数 设P（x0,y0），焦半径公式有 ∵点P在双曲线左支上 ∴ ∴ ∴当时，时，有最小值b2 解法三：由题分析点P位置，可知当点Ｐ在顶点时，和同时最小故最小 此时 ∴＝＝ 解法四：定义结合代数知识构造目标函数 由定义可知 两边同时平方有 ∴ ∴ 当点Ｐ在顶点时，、１２三点共线∴最小，且最小值为２c∴ 例3：求出同时满足下列条件的双曲线方程 （1）渐近线方程为x+2y=0和x-2y=0 （2）点A(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为 解法一：数形结合法 由知点P应为圆心为A(5,0)半径为的圆和双曲线的切点 设满足条件（1）的双曲线方程为 则有 ∴ 由△=0得： ∴ ∴双曲线方程为 但△=0只是两曲线相切的充分不必要条件，观察图象，可知当双曲线右顶点为（5+）时也满足条件，即双曲线方程为 综上知所求双曲线方程为和 解法二：分类讨论法 满足条件（1）的双曲线方程可设为 ∵点P(x,y)在双曲线上 ∴ = = = （1）若，则双曲线的焦点在y轴上，∴ ∴当x=4时有最小值，且， 依题意 ∴ 此时双曲线方程为 （2）若，则双曲线的焦点在x轴上，∴ 当 得不适合 当 解得： 此时双曲线方程为 综上，所求双曲线方程为 和 知识是无穷的，科学是严谨的，但方法是灵活多样的。见到问题，从基本的定义公式出发，联系所学定理和规律，灵活运用数学思想方法，全面分析，深入思考，大胆想象、尝试，寻求最优解题思路。长此以往，灵敏的思维方式会见题而生，这便达到基础知识提升和学习能力升华的效果。 y2=2px