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圆，相似综合应用 相似知识点回顾 1. 比例线段的有关概念： b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。 （ 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。） 2. 比例性质： 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④一直角三角形的斜边和一直角边与另一直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，这两直角三角相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等。 ②相似三角形对应边成比例。 ③相似三角形周长比等于相似比。 ④相似三角形面积比等于相似比的平方。 圆知识点回顾 （一）与圆有关的位置关系 （二）、关于圆的定理： 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 ★推论1： 知二推三 ★推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 2.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 ★推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ★推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 ★推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 4.弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 5.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 （三）、切线的性质与判定定理： 1.判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 2.性质定理：切线垂直于过切点的半径 ★推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 ★推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （四）、一些补充定理 1. 圆内相交弦定理及其推论： （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 （2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 2.圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦 （五）、圆内正多边形的计算： （1）正三角形：在⊙O中，△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= （2）正四边形：四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE?:AE:OA= （3）正六边形：六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA= （七）、弧长、扇形面积公式： （1）弧长公式： （2）扇形面积公式： 知识点联系 1、证明圆相关定理 1）、证明（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 2）、分以下三种情况证明（圆心角定理）：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 3）、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 4）、证明（切线长定理）： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 5）、证明（相交弦定理）：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 6）、证明（切割线定理）：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 典型例题 例1. 如下左图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________ A. △AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD C. △BAE∽△ACE D. △AEC∽△DAC