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证明过程中如何应用反证法 白鹤滩中学 徐仲平 摘要：反证法是一种常见的数学证题方法。文章开头就反证法的实质及一般步骤进行了论述；然后举例分析反证法证明适用的若干类型命题；最后就反证法证题时应该注意的问题提出一些自己的见解。 关键词：反证法 命题 唯一性。 在证题过程中对于某些命题，直接从原题入手求证较为困难，有的在特定场合甚至找不到证明的依据，这时可假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，结果也能间接达到目的，这就是常说的反证法。 一、反证法的实质及证题的一般步骤 命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。由于任何命题总与他的逆否命题等价，而反证法是一种间接证法，故它的实质就是证明命题的逆否命题成立。即：反证法不直接证明论题“若A则B”,而是证明它的反论题“既A又”是假的，再根据排中律，肯定“若A则B”是真的。 应用反证法证明数学命题时一般分为以下几个步骤： 1、分清命题“若A则B”的题设与结论； 2、作出与命题结论B相矛盾的假定； 3、由A与出发，应用正确的推理论证方法，得出矛盾结果； 4、分析断定产生矛盾结果的原因，是在于开始所作的假定不正确，于是原结论B成立，这就间接的证明了原命题。一般在证题中，要注意推理的严密性，必须步步有据，并且一定要真正理解矛盾在哪里。 二、适用于反证法证明的几种类型的命题 目前中学数学课本中的题型几乎被计算题、应用题、证明题“垄断”，但初中数学证明题用反证法证明的不多见。可是用反证法证题又是中学生需掌握的类容之一，它不仅可以培养学生的数学解题思维能力，还能训练学生的解题技巧。教师在讲授用反证法证题时，需注意题目的分析、判断。有些证明题目在证题时若从命题的正面入手，较难达到目的，但该命题有确定的反面，同时这些反面判断又易于被驳倒，就可以采用反证法证明，一般来讲在中学数学命题的证明过程中若遇到下面几种情况，就可以考虑使用反证法证明。 1、某些起始命题 按照公理化方法最初建立的仅是数量不多的定义和公理。因此某些起始的性质或定理，常常难以找到直接证明的依据，这时可以用反证法试一试。 例1、两条直线相交，只有一个交点。 已知：a、b为相交的两条直线。 求证：a、b只有一个交点。 证明:假定直线a与b不只有一个交点，则至少交于两点，设这两个交点为E与F,那么，直线a通过E,F两点，直线b也通过E、F两点，也就是说，过E与F两点，可以作两条直线a与b，这和公理“经过两点可以作一条直线，而且只可以作一条直线”相矛盾。产生矛盾的原因，是由于假定直线a与b不只有一个交点，假定既然不成立，则原题结论必然成立。 例2、（如图所示）已知直线L是⊙O的切线，切点为A。 求证：OA与直线L垂直。 证明：假设OA与L不垂直，过点O作OM⊥L垂足为M，根据“垂线段最短”的性质，有OM﹤OA,这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是⊙O的切线相矛盾。因此，OA与直线L垂直。 例3、在同一平面内一直线的垂线与斜线必相交，已知 L,L1,L2是同一平面内的三条直线，L2是L的垂线，L1是L的斜线（如图所示）。 求证： L1与L2必相交。 证明：假设L1与L2不相交，则L1∥L2，设L1,L2与L相交所得的一对同位角为和，则=。因为L1是L的斜线，所以900，从而≠900，这就是说L2与 L的交角不是直角，这与垂直的定义相矛盾。由此矛盾结果可以断定假设不成立，所以L1与L2必相交。 2、否定性命题 结论以否定形式出现的命题，直接证明方法一般不易入手，而用反证法有希望成功。 例4：AB,CD为O的任意两弦且相交于点P. 求证：AB与CD不可能互相平分 证明：假定AB与CD平分于点P，连接圆心O与点P.则根据“垂径定理” 的推论有OPAB.OPCD.于是有“过点P有两条直线AB，CD同时垂直于OP.这与垂线的性质相矛盾。所以假设弦AB与CD相交于点P,并被点P平分不可能成立。即AB与CD不可能互相平分。 例5、（如图所示）已知A、B、C三点在同一直线L上，L1垂直平分AB， L2垂直平分BC . 求证：A、B、C三点不在同一个圆上 证明：假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作圆，设