《二次函数实根分布.docVIP

二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。 　　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。 　　1．(α,β)内，方程系数所满足的充要条件： 　　∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1) 　　当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0 　　当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0 　　两种情形合并后的充要条件是： 　　Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0?? ① 　　2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件： 　　∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2） 　　从四种情形得充要条件是： 　　f (α)·f (β)＜0　　　　　　② 　　3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件： 　　（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时： 　　∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）： 　　当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0 　　当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0 　　两种情形合并后的充要条件是： 　　　　af (α)＜0，af (β)＜0　　　　　③ 　　（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时： 　　∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）： 　　当 x1＜x2＜α时的充要条件是： 　　Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0　　　　④ 　　当β＜x1＜x2时的充要条件是： Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0　　　　　⑤ 二次函数与二次不等式 前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。 例题讲解 已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为　　　　　。 如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范围。 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根， 对二次函数f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，求证，必存在x=±M≠0，使f(±M)均与a同号。 若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n) 6．设二次函数f(x)= ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1/a。 　　（1）当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x1 　　（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜x1/2。 7．当K为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根α和β分别满足0＜α＜1和1＜β＜2？ 8．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在［-3,3］上的最小值是　　　　。 例题答案： 1．解：记f(x)=x2+2px+1，则f(x)r的图象开口向上，当f(x)与x轴的两交点一个在（1,0）左方，另一个在（1,0）右方时，必有f(1)＜0，即：12+2P＋1＜0，即P＜－1 　　所以P的取值为（－∞，－1） 2．解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一（图5）： 　　得充要条件：（1-m2）f(0)＜0,(1-m2)f(1)＜0；即1-m2＞0,(1-m2)(2m-m2)＜0 　　解得：-1＜m＜0 3．证明：已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 　　方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=(b-1)2-4ac＜0 　　若a＞0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方， 　　∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。 　　∴对f(x)， 　　有f(f(x))＞f(