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8月1日四边形知识点与经典例题 基础知识 （一）四边形由一般到特殊的演变示意图 二、例题 例1如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB= CD. 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴= 90°， ∴△ABE≌△CDF. ∴∠BAE =∠DCF. 例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求证：BE = CF. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB = OC. 又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴ = 90o. ∵ . ∴△BOE≌△COF. ∴BE = CF. 评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定. 例3已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB. 证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC， ∴梯形ABCD是. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵AB = DC，BE = 2EA，CF = 2FD， ∴. ∵BC = CB， ∴△BEC≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB. 例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF. （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，∠A =∠C. ∵，∴△ABE≌△CDF. （2）解析： 四边形MFNE是平行四边形. ∵△ABE≌△CDF，∴∠ =∠CFD，BE =. 又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME =. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ =∠FBE. ∴∠CFD =∠ . ∴EB∥DF，即ME∥FN. ∴四边形MFNE是平行四边形. 评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论. 例5如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥. ∴∠EAC =∠ . ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA =，∠EOA =∠，EA = ∴△EOA≌△FOC . ∴AE = . ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EA =， ∴四边形AFCE是菱形. 1.下列命题正确的是（ ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 对角线相等的四边形一定是矩形 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（　　） 　（A）1　　　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　　（D）4 ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，则AC 的长为（ ） （A）1　　　　　　（B）1.2　　　　　（C）　　　　　　（D）1.5 4．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（ ） （A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm .若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线(　　　) （A）互相垂直　　（B）相等　 （C）互相平分　（D）互相垂直且相等 那么四边形AFDE的周长是 （ ） （A）5 （B）10 （C）15 （D）20 7.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）． （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 9.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是 AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论 成立的是 （ ) A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小 C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P 1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。 2.若正