4.3 实对称矩阵的对角化4.3 实对称矩阵的对角化.ppt

* §4.3 实对称矩阵的 对角化 一、内积的定义与性质 定义： 设ｎ维实向量 称实数 为向量α与β的内积，记作 如： 性质： （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： 当且仅当 时 推广性质： 概念： 二、向量的长度与夹角： 令 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别： 长度为１的向量称为单位向量. 注 ①当 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 称为把α单位化或标准化. 的过程 （1）非负性： （2）齐次性： （3）三角不等式： 性质： 定理：（Cauchy不等式） 任意两个n维实向量 恒有 等号成立当且仅当 线性相关. 三、正交向量组及其求法： 正交： 当 ，称α与β正交，记作 注： ① 若 　　，则α与任何向量都正交. 正交组： 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. ② 中的初始单位向量组 两两正交。 定理： 正交向量组必为线性无关组. 例1：已知三元向量 试求一个非零向量 ， 使得 为正交向量组. 标准正交组： 由单位向量组成的正交组称为标准正交组. 施密特（Schmidt）正交化法 1）正交化 令 将一组线性无关的向量组化为标准正交向量组. 2）标准化 令 例2：用施密特正交化方法将如下向量组 化为标准正交向量组. 练习：设线性无关的向量组， 将 正交化： 四、正交矩阵及其性质： Ａ的列（或行）向量组是标准正交组. 定理：方阵A为正交矩阵的充要条件是 判断下列矩阵是否为正交矩阵： 定理：实对称矩阵的特征值为实数. 定理：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量 正交. 定理：若ｎ阶实对称阵Ａ的　重特征值　对应的 线性无关的特征向量恰有　个．(不证) 五、实对称矩阵的对角化： 推论： 实对称矩阵的特征向量是实向量. *