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一、 不定积分 3. 分部积分法 1.二重积分的性质 2.在直角坐标系下计算二重积分 例9.计算二重积分 例10. 交换下列积分顺序 五、平面曲线积分 如果曲线 L 的方程为 例11. 计算 3.格林公式 1.平面图形的面积 例14. 计算两条抛物线 例15. 求椭圆 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: 连续曲线段 方法2.截面法（先二后一） 记作 在该区间内作 2.在柱坐标系下计算三重积分 在柱坐标系下化三重积分为三次积分是将积分区域在某个坐标面上投影，将投影区域用极坐标表示，最后找出另一个坐标的变化范围。 3.在球面坐标系下计算三重积分 计算定积分 转 化 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 说明: 积分限必须满足 1.对弧长的曲线积分的计算 则有 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 2.对坐标的曲线积分的计算法 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 特别是, 如果 L 的方程为 则 例12. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为 则 则 规定：封闭曲线沿逆时针方向为正方向 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 格林公式 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 例13. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围 原式 圆周 区域为D , 则 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 六、积分应用 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 所求弧长 2.平面曲线的弧长 * * 一、 不定积分 五、平面曲线积分 四、重积分 积分学 二、 定积分 三、 广义积分 六、积分应用 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式）. 2. 换元积分法 第一类换元的基本思路 第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有 第二类换元的解题思路为 使用该公式的关键为 第二类换元常见类型有 三角代换 倒代换 根式代换等 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 排前者取为 u . (1)当被积函数为对数函数和反三角函数时,取被积函数为 u (2)当被积函数为两种不同类型函数乘积时 例3 求积分 解 （再次使用分部积分法） 解 两边同时对 求导, 得 2、定积分的性质 性质1 性质2 性质3 1、定积分定义： 二、定积分 性质5 推论： （1） （2） 性质4 性质7 (定积分中值定理) 性质6 积分中值公式 3、积分上限函数的导数 也可写成 牛顿—莱布尼茨公式 4、牛顿—莱布尼茨公式 5、定积分的计算法 换元公式 （2）第二类换元法 （3）分部积分法 分部积分公式 （1）凑微分法 6、重要结论 为正偶数 为大于1的正奇数 三、广义积分 (1)无穷限的广义积分 (2)无界函数的广义积分 ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 四、重积分（化为累次积分） 特别, 由于 则 5. 若在D上 6. 设 D 的面积为? , 则有 7.(二重积分的中值定理) 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 连续, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 解 3. 在极坐标系下计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 由于积分区域关于X轴对称，被积函数为偶函数，考虑上半圆。再利用极坐标 原式 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 方法1. 三次积分法 3.在直角坐标系下计算三重积分