2014世纪金榜第十六章 第三节2014世纪金榜第十六章 第三节.ppt

第三节 几个著名的不等式及利用 不等式求最大(小)值 1.几个著名的不等式 柯西不等式的代数形式: 设a，b，c，d均为实数，则 (ac+bd)2≤_______________当且仅当______时等号成立. 柯西不等式的向量形式: 设 是平面上的两个向量，则 ___________,当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立． (a2+b2)(c2+d2) ad=bc 柯西不等式的一般形式:设n为大于1的自然 数,ai,bi(i=1,2,…,n)为实数，则 ≥___________________ 等号当且仅当_______________时成立(当ai=0时，约定 bi=0,i=1,2,…,n) (2) 三角形不等式: 设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数， 则 ≥ ________________. (3)排序不等式: 设两组实数a1，a2，a3，…，an与b1，b2， b3，…，bn，且它们满足：a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2， b3，…，bn的任意一个排列，则和数a1c1+a2c2+…+ancn在a1， a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn同序时最大，反序时最 小，即a1b1+a2b2+…+anbn≥________________≥_________ _________，等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立. a1c1+a2c2+…+ancn a1bn+a2bn-1 +…+anb1 (4)n个正数的算术-几何平均不等式： 若a1,a2,…,an为正数， 则 等号当且仅当a1=a2=…=an时成 立, _____________称为n个正数a1,a2,…,an的算术平均 数, _________称为这n个正数的几何平均数. 它表明：n个正数的算术平均数_______它们的几何平均数． 不小于 2.利用不等式求最大(小)值 (1)运用柯西不等式求最大(小)值. (2)运用算术-几何平均不等式求最大(小)值. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可 以写成 ( ) (2)在柯西不等式的向量形式中，取等号时，两个向量 的夹角是0.( ) (3)排序不等式说明了同序和≥乱序和≥反序和.( ) 【解析】(1)错误.当b·d=0时，柯西不等式成立,但 不成 立. (2)错误.两个向量 和 的夹角是0或π. (3)正确.由排序不等式的概念可知是正确的. 答案：(1)× (2)× (3)√ 考向 1 运用著名不等式证明 【典例1】(2012·福建高考)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R，且 f(x+2)≥0的解集为［-1,1］． (1) 求m的值. (2) 若a，b,c均为正数且 求证：a+2b+3c≥9． 【思路点拨】根据条件，容易求得m的值，再观察第(2)题，符 合柯西不等式的特征，从而得证. 【规范解答】(1)由f(x+2)=m-|x|≥0得|x|≤m，从而由已知条 件得m=1. (2)由(1)得 由柯西不等式得 当且仅当a=2b=3c时取等号. 【拓展提升】运用算术—几何平均不等式与柯西不等式的证明思路 用算术－几何平均不等式与柯西不等式证明不等式时，可直接应用其结论，也可将要证的不等式拆成若干个不等式的和或积，再利用著名不等式证之． 【变式训练】 设a，b，c为正实数，求证： 【证明】方法一：因为a,b,c为正实数，由平均不等式可得 即 所以 而 所以 当且仅当 时取等号. 方法二：不妨设a≤b≤c, 则 ≥ 当且仅当a=b=c= 时取等号. 考向 2 运用著名不等式求最值 【典例2】已知正数x，y,z满足x+y+z=1. (1)求证： (2)求4x+4y+ 的最小值. 【思路点拨】本题第(1)题等价于求 的 最小值,因其分母分别为y+2z,z+2x,x+2y,其和恰为3(x+y+z), 故运用柯西不等式求之.第(2)题的特征是正数x，y,z均在指数 上,根据同底数幂的乘法法则,才能转化成和的形式,故运用均 值不等式求之. 【规范解答】(1)因为x＞0,y＞0,z＞0，所以由柯西不等式得 ［(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)］ ≥(x+y+z)2. 又因为x+y+z