2013年高考数学(理)二轮复习课件(人教A版)1.5函数、导数、不等式的综合问题2013年高考数学(理)二轮复习课件(人教A版)1.5函数、导数、不等式的综合问题.ppt

导数与函数、方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．题型以解答题的形式为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力． 应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力．解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决． 常考查：①确定零点，图象交点及方程解的个数问题；②应用零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或范围．该类试题一般以含参数的高次式、分式、指数式或对数式结构的函数、方程呈现．主要考查学生转化与化归、数形结合思想，以及运用所学知识解决问题的能力． 【例1】? 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点． (1)求a； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围． [审题视点] (1)由f′(3)＝0求a；(2)由f′(x)＞0或f′(x)＜0，求函数f(x)的单调区间；(3)求f(x)的极值，结合图象可确定b的取值范围． [听课记录] 对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 【突破训练1】 (2012·聊城二模)设函数f(x)＝(1＋x)2－2ln (1＋x)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若关于x的方程f(x)＝x2＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围． 通常考查高次式、分式或指数式、对数式、绝对值不等式在某个区间上恒成立，求参数的取值范围，试题涉及到的不等式常含有一个或两个参数． 【例2】? (2011·湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a，b为常数．已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (1)求a，b的值，并写出切线l的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)＜m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围． [审题视点](1)基础；(2)根据已知条件f(x)＋g(x)＝mx有三个 互不相同的实根0、x1、x2可列一方程，由判断式Δ可得m的 范围，再将已知条件：对任意x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)＜m(x －1)恒成立，转化为f(x)＋g(x)－mx＜－m恒成立，从而求 f(x)＋g(x)－mx的最大值． [听课记录] (1)利用导数方法证明不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)＞0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． (2)利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型，体现了导数的工具性作用，将函数、不等式紧密结合起来，考查了学生综合解决问题的能力． 通常是证明与已知函数有关的关于x(或关于其他变量n等)的不等式在某个范围内成立，求解需构造新函数，用到函数的单调性、极值(最值)，以及不等式的性质等知识完成证明． 本题有机地将函数、导数和不等式结合到一块，试题难度较大．本题分三小问，第(1)问较容易；第(2)问可以用平时练习常用的方法解决：首先使用构造函数法构造函数，再用导数求出函数的最大值或最小值，且这个最大值小于零，最小值大于零；第(3)问采用反证法，难度较大，难点在于不容易找到与题设矛盾的特例． 【突破训练3】 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1. (1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知，f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f(x)在x＝ln 2处取得极小值， 极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． (2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当aln 2－1时， g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a