[10704立体几何中的求解问题.docVIP

10705立体几何中的求解问题 【知识梳理】立体几何中的求解问题，都可考虑两种方法：几何法、向量法，常用向量法. 1、几何法 (1) 求“角度”问题：求所成的角（一作二证三计算） 异面直线所成的角：平移到相交时的夹角(找或作平行线)，∠AOB或其补角为异面直线所成的角. 直线与平面所成的角：直线与其投影的夹角(找或作垂线)，∠PAO为直线与平面所成的角. 两个半平面所成的角：两个面上分别与棱垂直的线的夹角，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)点到平面的距离：过点作面的垂线段的长，或等体积法. 2、向量法 (1)处理“角度”问题：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 异面直线所成角： 直线与平面所成角： 两个平面的夹角：||=，再通过判断为锐角或钝角取值. (2)处理“距离”问题： 两点距：设，, d=|AB|= 点到面的距离：设平面的一个法向量为，，则点到平面的距离是. 【类题通法】求异面直线所成的角的常见方法：（1）法：一作二证三求(∠α或其补角为异面直线a,b所成的角)；如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________． 解析：建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.＝，＝.设直线AM与CN所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.答案： 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，则异面直线AD和BC所成的角为________． 解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC且EG＝BC＝1，FGAD，且FG＝AD＝1.即EGF为所求，又EF＝，由勾股定理逆定理可得EGF＝90°.答案：90° 【类题通法】求直线所成的角的常见方法：（1）法：一作二证三求；1、(三种方法都可用)(2013·湖南高考)如图，在直棱柱ABCD -A1B1C1D1中，ADBC，BAD＝90°，ACBD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． [解]　法一：(1)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1. 又ACBD，所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．如图，连接A1D.因为棱柱ABCD -A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1.从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D. 由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝.即AB＝＝. 连接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝. 在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90°－θ)＝.从而sin θ＝. 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. 法二：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则有A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)． 因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)． 于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D. (2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则 即令x＝1，则n＝(1，－，)． 设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. 法：，得,而, ， 所以，所以 三、二面角 【类题通法】求的常见方法：（1）1．已知四棱锥P -ABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO＝2，AB＝2CD＝2，E，F分别是AB，AP的中点．则二面角F -OE -A的余弦值为________． 解析：以OB，OC，OP所在直线分别为