[统计学3概率论与数理统计概述.doc

【基础理论知识衔接】第三章1-3节 《概率论与数理统计》 一、总结和复习描述数据的方法 二、密度曲线 三、关于概率 （一）三种解释： 古典概率（63页） 统计概率（64页） 主观概率（65页） 概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。 古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性 统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明 主观概率的确定又具有主观随意性 苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义 ——通过规定应具备的基本性质来定义概率 公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。 （二）概率的基本性质（67页） 非负性：对任意事件A，有 0 ? P(A)? 1。 规范性：必然事件的概率为1，即： P(?)=1；不可能事件的概率为0 ，即：P(?)=0。 可加性：若A与B互斥，则：P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有： P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An ) 上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。 四、随机变量及其数字特征（75---86页）随机变量——表示随机试验结果的变量 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示 根据取值特点的不同，可分为： 离散型随机变量——取值可以一一列举 连续型随机变量——取值不能一一列举 离散型随机变量 （1）离散型随机变量的第一个数字特征 是指数学期望，又称均值 描述一个随机变量的概率分布的中心位置 离散型随机变量 X的数学期望：（77页公式3.12） 相当于所有可能取值（以概率为权数）的加权平均值 数学期望的主要数学性质 若k是一常数，则E (k X) ＝k E(X) 对于任意两个随机变量X 、Y ， 有 E(X+Y)＝E(X) ＋E(Y) 若两个随机变量X 、Y 相互独立，则 E(XY)＝E(X) E(Y) （2）离散型随机变量X的方差——第二个数字特征 方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或σ2 公式：（77页公式3.13） 标准差＝方差的平方根 方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。 它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。 方差的主要数学性质： 若k 是一常数，则 D(k)＝0；D(kX)＝k2 D(X) 若两个随机变量X、Y 相互独立，则D(X+Y)＝D(X) ＋D(Y) 五、随机变量的概率分布 1.离散型随机变量的概率分布（76页） X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系。 概率分布具有如下两个基本性质： 76页公式（1）（2） 离散型概率分布的表示： 概率函数：P(X= xi)= pi 分布列： 分布图： 常用离散型随机变量的概率分布（78—85页） 二点分布 二项分布 泊松分布（略） 超几何分布（略） 二点分布（0—1分布、Bernoulli伯努利分布、贝努里分布）教材78页 二项分布(教材79页) （背景）——n重贝努里试验： 一次试验只有两种可能结果 用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败” 每次试验中“成功”的概率都是 p n 次试验相互独立。 (教材79页公式3.15——重点公式) 在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为 X ～B(n , p) 一元二项分布概率计算函数 教材80页 BINOMDIST 【复习】85页表3.11常用离散型随机变量概率分布的数字特征 重点公式 2.连续型随机变量 连续型随机变量的概率分布 可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 连续型随机变量的概率分布只能表示为： 数学函数——概率密度函数f (x)和分布函数F (x) 图 形——概率密度曲线和分布函数曲线 连续型随机变量取任何一个特定值的概率等于0 不能列出每一个值及其相应的概率，只能计算随机变量落在一定区间内的概率 ——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示 概率密度函数全面描述了连续型随机变量的统计规律 概率密度函数f (x) 的性质 （1）概率密度是非负函数（即位于横轴的上方）。 （2）概率密度曲线与横轴之间的面积为1 分布函数（86页） 设X是一个随机变量，对任一实数x，事件“X≤x”称为随机变量X的分布函数，记为F