[第十讲数学期望.doc

教 案 章节 §4.1 课题 数学期望 目的 要求 1、理解数学期望的定义并且掌握它们的计算公式； 2、掌握数学期望的性质，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用数学期望的性质计算某些随机变量函数的数学期望。 3、熟记0－1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望。 重点 难点 【】【】 教 学 过 程 教 学 过 程 教 学 过 程 一、离散型随机变量的数学期望 引例：一射手进行打靶练习，规定射入区域得2分，射入区域得1分，脱靶（即射入区域）得0分，射手得分数为一随机变量，现在射击次，得2分有次，得1分有次，得0分有次，计算射手一次射击的平均得分数。 计算得射手一次射击的平均得分数为：， 其中在一定意义下接近于事件的概率。 受上面问题的启发，为此，对一般离散型随机变量，我们引入如下定义： 定义1: 设为离散型随机变量，其分布列为：，若+ 则称E==为的数学期望或均值。 〖注〗：①当级数发散时，E不存在。 ②为使E与各项的次序无关，必须要求收敛；否则，若条件收敛，则E不唯一，这自然不行。 二、连续型随机变量的数学期望 定义2：设为连续型随机变量，其密度函数为，若广义积分+收敛时，则定义的数学期望或均值为；否则E不存在。 上述定义设~，若，则。 [注]：设想取很密的分点分割，则落在内的概率等于，因此与以概率取值的离散型随机变量相似，而后者的数学期望为，这个和式的极限就是。 Eg1：某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分是一个随机变量，据以往资料表明其分布律为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.002 0.001 0.002 0.005 0.02 0.04 0.18 0.37 0.25 0.12 0.01 试求的数学期望。 Eg2：有两个相互独立工作的电子装置，他们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为 若将这两个电子装置串联组成整机，求整机寿命的数学期望。 Eg3：按规定，火车站每天8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为： 到站时间 8:10-9:10 8:30-9:30 8:50-9:50 概率 1/6 3/6 2/6 (1) 旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。 Eg4：某商店对某种家电的销售采用先使用后付款的方式，使用寿命为，规定： ,一台付款1500元； 一台付款2000元； 一台付款2500元； 一台付款3000元 设寿命服从指数分布，概率密度为： 试求该商店一台这种家电收费的数学期望。 Eg5：在一个人数很多的单位中普查某疾病, 个人验血，可用两种方法: (1) 每个人化验一次，共需化验次；2) 个人的血混合化验，如果结果是不含该病菌，说明这个人都无该病，这样个人化验一次即可；如果结果是含该病菌，则该组每个人再分别化验一次，个人共化验 次. 试问用哪一种方法可减少化验次数？ Eg6：求泊松分布的数学期望。 Eg7：求均匀分布的的数学期望。 三、随机变量函数的数学期望 1.是离散型随机变量是离散型随机变量若+，则定义的数学期望为：E=E[]=，其中 2.是连续型随机变量，其密度函数为，则是连续型随机变量 若+，则称的数学期望为 对二维的情形： 3.设(,)为二维离散型随机变量，其联合分布列为P，g(x,y)是二元连续函数，则(,)为一维随机变量。若P+─—收敛，则称(,)的数学期望为=P 4.设(,)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，若 +, 则称(,)的数学期望为= Eg8：设风速在服从均匀分布，密度函数为，又设飞机机翼受到的正压力是的函数：，试求的数学期望。 Eg9：设风速随机变量的密度函数为，求的数学期望。 Eg10：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而挤压一件产品导致n元的损失，预测销售量服从指数分布，其概率密度为： 问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？ Eg11：某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜，他就将此项目以10千美元转让给他人，可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7-11千美元之间均匀分布，问甲应如何报价才能使获得收益的数学期望最