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第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 多随机变量及其联合分布 内容概要 1. 随机变量 如果是定义在同一个样本空间上的个随机变量,则称为随机变量,或元随机变量,或随机向量. 2.联合分布函数 对任意的个实数,称 为维随机变量的联合分布函数. 二维随机变量的联合分布函数具有如下四条基本性质: (1) 单调性 分别对或是单调不减的. (2) 有界性 对任意的和,有,且 (3) 右连续性 对每个变量都是右连续的,即 . (4) 非负性 对任意的有 . 可以证明:具有上述四条性质的二元函数一定是某个二维随机变量的分布函数. 3.联合分布列 如果只取有限个或可列个数对,则称为二维离散随机变量,称为的联合分布列,联合分布列也可用如下表格形式表示: 联合分布列的基本性质: (1)非负性: (2) 正则性: 4.联合密度函数 如果存在二元非负函数,使得二维随机变量的分布函数可表示为 则称为二维连续随机变量,称为的联合密度函数. 联合密度函数的基本性质: (1)非负性: , (2)正则性: (3)在偏导数存在的点上有 (4)为平面上的一个区域,则有 5. 多项分布 在次独立重复试验中,如果每次试验有个可能结果:,且每次试验中发生的概率为 记为次独立重复试验中出现的次数,则服从多项分布,又称项分布,记为,其联合分布为 其中. 当时,即为二项分布. 6.多维超几何分布 有个对象,共分类,其中第类对象有个,N=N1+N2+…+Nr,从中随机取出个,若记为取出的个对象中第类对象的个数,,则服从维超几何分布,其联合分布列为 其中 7. 多维均匀分布 设D为R中的一个有界区域，其度量(平面上为面积，空间为体积等)为SD，如果多维随机变量(X，X，…，X)的联合密度函数为 则称(X,X,…,X)服从D上的多维均匀分布，记为(X，X，…，X)～U(D). 8. 二元正态分布 如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 则称(X,Y)服从二元正态分布,记为(X,Y)～N其中E(X)=E(Y)=Var(X)=Var(Y)=-1 习题与解答3.1 1. 一批产品中有一等品50%,二等品30%,三等品20%.从中有放回地抽取5件,以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数,求(X,Y)联合分布列. 解 这是一个三 项分布,若取出的5件中有件一等品、件二等品,则有件三等品,所以当时,有 用表格形式表示如下： X Y 0 1 2 3 4 5 行和 0 0.00032 0.00240 0.0072 0.0108 0.00810 0.00243 0.03125 1 0.00400 0.02400 0.0540 0.0540 0.02025 0.00000 0.15625 2 0.02000 0.09000 0.1350 0.0675 0.00000 0.00000 0.31250 3 0.05000 0.15000 0.1125 0.0000 0.00000 0.00000 0.31250 4 0.06250 0.09375 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.15625 5 0.03125 0.00000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.03125 列和 0.16807 0.36015 0.3087 0.1323 0.02835 0.00243 1.00000 注：行和就是X的分布B(5,0.5), 列和就是Y的分布B(5,0.3) 4. 设随机变量Xi,i=1,2的分布列如下，且满足P(X1X2=0)=1,试求P(X1=X2) Xi -1 0 1 P 0.25 0.5 0.25 解 记(X1,X2)的联合分布为 X2 X1 -1 0 1 -1 p11 p12 p13 0 p21 p22 p23 1 P31 p32 P33 由P(X=0)=1知： , .即 X2 X1 -1 0 1 -1 0 p12 0 0 p21 p22 p23 1 0 p32 0 又因为0.25=P()=P()+P( = 同理由 , X2 X1 -1 0 1 -1 0 0.25 0 0 0.25 p22 0.25 1 0 0.25 0 又有分布列的规范性得 p22=0，于是(X1,X2)的联合分布列为 X2 X1 -1 0 1 -1 0 0.25 0 0 0.25 0 0.25 1 0 0.25 0 从而 P(X1=X2)= p11 +p22 +p33=0 5. 设随机变量(X,Y)的