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第6讲　双曲线 【高考会这样考】 1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形． 2．考查求双曲线的几何性质及其应用． 【复习指导】 本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查． 基础梳理 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0； (1)当ac时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a0，b0) －＝1(a0，b0) 图　形 性　　质 范　围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 一条规律 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；． 三个防范 (1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝ a2＋b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)． 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝±x. 双基自测 1．双曲线－＝1的焦距为(　　)． A．3 B．4 C．3 D．4 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)． A．2 B．2 C．4 D．4 3．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)． A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________． 考向一　双曲线定义的应用 【例1】?双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________． [审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题． 解析　由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由双曲线定义，可知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d＝16. 答案　16 由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应． 【训练1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________． 解析　由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案　4 考向二