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第3章 截面图形的几何性质 任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积A，第4章计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I以及第6章计算弯曲应力时用到横截面的惯性矩Iz等。A、I和Iz等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质(geometrical properties of an area)。下面我们分别讨论材料力学中常用的一些截面图形的几何性质。 3.1 静矩和形心 设有一任意截面图形如图3—1所示，其面积为A。选取直角坐标系yoz，在坐标为(y,z)处取一微小面积dA，定义微面积dA乘以到y轴的距离z，沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S(static moment)，其数学表达式 同理，图形对z轴的静矩为 截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴y、z的不同而不同。所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零。静矩的量纲为长度的三次方。 确定截面图形的形心位置(图3—1中C点)时，我们借助理论力学中等厚均质薄片重心的概念，当薄片的形状与我们所研究的截面图形形状相同，且薄片厚度取得非常小时，薄片的重心就是该截面图形的形心．即 式中y、z为截面图形形心的坐标值．若把式(3—2)改写成 这就表明，截面图形对y,z轴的静矩，分别等于截面面积乘上形心的坐标值z,y．由式(3—2)可见，若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．反之，若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形(如矩形、圆形等)组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(SS)与形心坐标(y、z)时，可用以下公式 式中A，y，z分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数． 式(3—4)、(3—5)表明：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积． 例3—1 已知半圆形截面半径为R(图3—2a)，试计算其静矩Sy、S及形心坐标值y、z。 解；(1)计算 取代入式 由于z为对称轴，故 (2)计算y、z 由式(3—2)求得 在计算S时，用三角函数表示dA也很方便．因为,所以 两种解法结果相同． (3)计算弓形面积的S 当要求计算弓形面积(图3—2b)对过圆心的y轴的静矩S时，仍然可取如3—2a图上的微面积，只要将积分下限由零换成z，即 将上式中用弓形的拱高h来表示，即R-z=h代入上式得到 例3—2 已知T形截面尺寸如图3—3所示，试确定此截面的形心坐标值． 解：(1)选参考轴为y轴，z轴为对称轴， (2)将图形分成I、两个矩形，则 (3)代入公式(3—5) 例3—3 如图3—4所示的截面图形，试求其形心位置。 解；(1)选参考轴y、z如图示。 (2)将图形分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形。 (3)按式(3—5)计算形心坐标值 组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例如图3—5所示截面，可认为是由矩形面积减去圆形面积所组成．在应用公式(3—5)计算形心位置时，圆孔的面积和它对坐标轴的静矩应取负值． 3.2 惯性矩、惯性积和