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第20讲 乘、除法的运算律和性质 　　我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。 　　1. 乘法的运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。 即a×b=b×a，其中，a、b为任意数。 　　例如：35×120=120×35=4200。 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。 即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)，其中，a、b、c为任意数。 　　注意： (1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。 (2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有a×b×c=b×(a×c)等。 例1：计算下列各题 (1)17×4×25； (2)125×19×8； (3)125×72； (4)25×125×16。 乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。 即(a+b)×c=a×c+b×c；(a－b)×c=a×c－b×c。 例2：计算下列各题： (1)125×(40+8)； (2)(100－4)×25； (3)2004×25； (4)125×792。 　　2. 除法的运算律和性质 　　(1)商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即 　　a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0) 　　 =(a÷m)÷(b÷m)(m≠0) 例3：计算 (1)425÷25； (2)3640÷70。 (2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即 　　(a±b)÷c=a÷c±b÷c 　　例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，(9－6)÷3=9÷3－6÷3。 　　此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如 　　(1000－688－136)÷8=1000÷8－688÷8－136÷8=125－86－17=22 (3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即 　　a÷b÷c=a÷c÷b 　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如， 　　168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=…… 例4：计算下列各题： (1)(182+325)÷13； (2)(2046－1059－735)÷3； (3)775÷25； (4)2275÷13÷5。 　　3. 乘、除法混合运算的性质 (1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如， 　　a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a (2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即 　　a×(b×c)=a×b×c；a×(b÷c)=a×b÷c 　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即 　　a÷(b×c)=a÷b÷c；a÷(b÷c)=a÷b×c 　　添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即 　　a×b×c=a×(b×c)；a×b÷c=a×(b÷c)；a÷b÷c=a÷(b×c)；a÷b×c=a÷(b÷c) (3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即 　　(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c) 　　上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。 例5：计算下列各题 (1)136×5÷8； (2)4032÷(8×9)； (3)125×(16÷10)； (4)2560÷(10÷4)； (5)2460÷5÷2； (6)527×15÷5； (7)(54×24)÷(9×4) 练习20 　　用简便方法计算下列各题。 (1)12×4×25； (2)125×13×8； (3)125×56； (4)25×32×125。 (1)125×(80+4)； (2)(100－8)×25； (3)180×125； (4)125×88。 3. (1)1375÷25； (2)12880÷230。