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可逆摆运动特性的研究 刘勇（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011） 指导老师：张 杰 摘要：本文根据可逆摆的物理图象和运动学方程，建立了可逆摆的目标函数和控制数学模型。通过对目标函数控制物理机理的研究，寻找目标函数的极值，然后利用MATLAB的Simulink进行了可逆摆的运动学仿真。在仿真过程中我们应用全维状态观测设计控制器实现了状态反馈，在此基础上用状态反馈控制配置系统极点，能够在最短的时间内寻找到系统的平衡位置。仿真结果表明，该方法可使系统稳定工作并具有良好的动态性能，并能较好地解释可逆摆实验中一系列物理现象。这为我们提供了一种利用状态反馈进行控制系统优化的手段。 关键词：可逆摆，状态反馈，MATLAB，自动控制，仿真 1．引言 北京大学赵凯华教授指出[1]：“物理学家对事物是最好穷本极源的，他们在研究的过程中不段地思考，凡事总喜欢问个‘为什么’。理论物理学家不能仅仅埋首于公式的推演，应该询问其物理实质，从中构想出鲜明的无论图象来；实验物理学家不应满足于现象和数据的记录，或某种先进的指标，而要追究其中的物理机理”。 可逆摆问题在控制理论的研究中是一个很典型的范例[2-3]。本文根据可逆摆运动学方程，建立可逆摆目标函数的物理图象，分析（L-x）图象的形成机理，研究可逆摆上的大锤对目标函数控制的物理机理，从而较好地解释了可逆摆实验中一系列物理现象。 2．可逆摆原理及运动方程 2.1可逆摆的振动周期 在大学实验教材中，可逆摆是一种可倒过来摆动的物理摆[4]，实验原理如图1，它是均匀钢体C上装有2个均匀且平整的钢盘A和B，杆C穿过钢盘，且穿过盘心。O1，O2为杆C的两刀口，当可逆摆正挂做摆角很小的摆动时，它做简谐振动，其周期为 （1） 式中I1为摆在此时的转动惯量，M为摆的总质量，a为刀口O1到质心O的距离。为了消去难于测量I1与a，需保持整个摆的结构不变而仅将摆倒过来绕O2（称作倒摆）摆动则其周期为 （2） 式中I2为摆此时的转动惯量，b为刀口O2到摆质心O的距离，两者也难于侧准，为了消去I1，I2，a，b，再用平行轴定理 ( 3 ) （4） 则由(1)、(2)、(3)、(4)可得 （5） 式中a，b虽然难于测量准，但a+b是两刀口之间的距离，可测得足够准确，所以，当条件满足T1= T2= T时，由a+b=L可得[5] （6） L为等值摆长，即O1，O2之间的距离。 由以上推导可知，要准确的测量可逆摆的振动周期，最关键的是确定移动锤B的位置，即当A在一定范围内移动时，使其满足T1= T2的要求。我们可以利用可逆摆方程计算出活动锤B的取值范围。 ２.2 可逆摆的运动学方程[6-7] 由以上推导可知，显然当ａ=ｂ=L/2时，在摆完全对称条件下，显然有T1=T2=T，但这样测出的g是无意义的，那么当E在其它位置时是否有意义呢？是否有T1=T2存在？我们要具备什么样的条件才能准确的测定T1=T2？ 由（1）～（4）式以及T1=T2=T；L=ａ+ｂ可得 （7） 可分解为： （8） 对于（8）式，当a= L /2时，虽有T1=T2，但因a-b=0而使所得到的g无意义。所以，本测量能否成功就由方程 （9） 应具备什么条件才有T1=T2决定了。因此，我们必须求去I0。设杆总长为Lc，它与盘E。盘A，B的质量分别为mc，mE，ma，mb=m1（即M=mc+mE+2m）.当将摆调至上下、前后、左右都对称时，可算得 （10） 式中L1和L2分别是刀口O1和O2到各自杆正端的距离，x为盘E中心到摆质心O的距离，根据质心的定义有 （11） 由L1=L2，b=L-a