量子力学辅导刚要3量子力学辅导刚要3.doc

《量子力学》辅导纲要（3） 第九章 散射 主要内容： 1．为推导李普曼－许温革方程，必要的数学准备是复函中的留数定理。 2．通过与经典散射过程及散射截面的比较，找出量子散射的根本特征。例如，低能钢球散射，经典截面是，而量子散射截面是球面，即。 3．能够自已推导李普曼－许温革方程及分波法相移，如此才能深刻地理解这两个方法的用法及适用条件。进一步通过典型例题，学会解题方法。 4．应理解到，这两种方法都是近似方法，都有其适用条件，应根据不同物理条件，使用不同方法。 要点： 1. 量子散射和经典散射的本质差别，这可由低能散射更清楚的看出； 2．李普曼-许温格方程的推导及意义，玻恩近似； 3．分波法的计算步骤。 重点掌握： 1．几个概念。 入射粒子流强度;微分散射截面;总散射截面；弹性散射；非弹性散射。散射振幅。 2．李普曼-许温格方程 相对运动的定态薛定谔 将坐标原点选在A与B的质心处，质心看作是相对静止的。在质心坐标系中，相对运动的定态薛定谔方程为 （1） 其中，为相对坐标，为折合质量，势场，是中心力场，，。 散射波的渐进行为。时， 。方程（1）的球面波解是 （2） 其中，称为散射振幅。方程（1）的渐进解应有如下形式（或说是解的边界条件）： （3） 微分散射截面 （4） 在边界条件（3）下，求解（1）的Green函数满足如下方程 （5） （6） （7） 此即李普曼-许温格方程。 3．玻恩近似 （7）可用迭代法逐级求解。将（7）右边用零级近似代替 （8） 可得一级散射波函数，称为一级玻恩近似，这里是方向基矢，是入射粒子的动量，沿方向。再逐步迭代，可得高级近似。 （9） （10） 玻恩近似成立的条件 （11） 时，玻恩近似能够是一个好的近似。具体分析如下： 如果入射粒子能量很低，， 设的力程，大小，（11）化为 或 （12） 的力程很小。这时 或 ； （13） 入射粒子能量足够高。这时被积函数由于相因子的快速振荡而相消，积分值将变得很小。这样，如果玻恩近似在低能区成立，则在高能区也成立，但反过来，却不一定。 4．分波法 分波法是处理散射问题的一个严格方法。但由于实际上不可能计算全部分波，所以也是一种近似方法。这种方法适合于低能散射。设势场都是中心力场。 相移和散射截面 假设散射势场是中心势场。这样，散射是绕轴对称的，与角无关。相应的薛定锷方程和渐进条件分别是， ，（14） (15) 由于角动量守恒，平面波分解中的各个不同的分波将各自独立散射，每一个分波都满足（14）和渐进条件(15)。即 (16) 式中， 为化简(16)，设，(16)变为 (17) 散射振幅决定于方程(17)的解。为与渐进条件(15比较，考虑(17)的渐进解。，由的有限性可知，应有 ； (18) 时，(17)变为 (19) 由此得到 (20) 将(17)求出解后，确定其渐进形式并与(20)比较，就确定了重要的位相。将这样确定的代入到以下两个公式，就求得了微分散射截面和总散射截面。 (21) (22) 这样通过将平面波分解为不同角动量的球面分波，从而求得微分散射截面的方法称为分波法。 讨论 A. 由以上推导可看出，入射波中的第个分波经散射势场作用后，产生相移，由原来的变成为。由方程解在时的渐进形式确定。 B. 显然时，。设无散射的第个分波的一个确定位相位为时，。相应的散射波中第个分波的这个位相为时，如果，则，说明是吸引势，即；如果，则，说明是排斥势，即。 分波法的适用条件。分波法适于低能或作用半径很小的势场。 5．光学定理 总截面正比于弹性散射部分向前散射振幅的虚部，即 (23) 这是一个普适规律。其物理解释