量子力学课后习题量子力学课后习题.doc

绪论 在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布洛意波长。 利用玻尔-索末菲的量子化条件，求 一维谐振子的能量； 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 波函数和薛定谔方程 证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。 由下列两定态波函数计算几率流密度: （1），（2） 求粒子在一维无限深势阱 中运动的能级和波函数。 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 试求算符的本征函数。 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。 量子力学中的力学量 1. 一维线性谐振子处于基态 ，求: （1）势能的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的几率分布函数。 2. 氢原子处于基态，求： （1）r的平均值； （2）势能的平均值； （3）最可几半径； （4）动能的平均值； （5）动量的几率分布函数。 3. 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： （1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。 4. 一维运动的粒子的状态是 其中，求 （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。 5. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 6. 设氢原子处于状态 　　　　 求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 7已知和是二个厄密算符，试证明： 也是厄密算符 （2） 也是厄密算符 8. 令 和，试证明 （1）[]=；（2）[]= 第四章 态和力学量的表象 1. 求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。 2. 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 3. 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 4. 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 5. 设已知在和表象中，算符和和矩阵分别为 　　　，　 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。 6．设厄米算符，满足，,求在表象中，算符和的矩阵表示。 第五章 微扰理论 1.如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷分布均匀的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 2.设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01和E02，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，；a，b都是实数。用微扰公式求其能量至二级修正。 3.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：，其中 求能级的一级近似和波函数的0级近似。 4. 在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出 （1）设c 1，应用微扰论求H本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致。 5.求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 第七章 自旋与全同粒子 1. 求证：。 2. 在本征态下，求 3. 在表象中，求和的本征值和所属的本征函数。 4. 求自旋角动量在方向的投影 的本征值和所属的本征函数。 5. 设氢原子状态是 　　　　　 （1）求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； （2）求总磁矩　（SI） 的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色 子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？ 7. 证明，，和组成正交归一系。 8. 设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。