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选修4-4坐标系与参数方程教材分析2009-5-27 北京四中 程国红 内容与要求 坐标系 回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。 通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和直角坐标系中的方程，体会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系比较，体会区别。 参数方程 通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。 举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。 借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解它们的生成过程，并能推导它们的参数方程。 通过阅读材料，了解其他摆线的生成过程和实际应用。 教学建议 直角坐标系、平面上的伸缩变换 一维直线、二维平面与三维空间 伸缩变换： 图形到坐标 注: 几何问题代数化的思想。 极坐标系 （1），时：当M与原点不重合时，M 规定：极点O的极径为0，极角任意。 时，除极点外，点与坐标一一对应 （3）：时，就是。 极坐标的不惟一性。点与极坐标是“一对多”的关系，而直角坐标系是“一对一”的关系。 坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数的几何含义不同。同一个几何图形的方程在不同坐标系中具有不同形式。因此，要善于根据问题的几何特征选择合适的坐标系，使方程具有较简便形式。 说明建立坐标系的原则。 极坐标与直角坐标的关系 在极点、极轴分别与原点、x正半轴重合时，同一点的坐标间关系： （注：所在象限与点所在象限一致） 3、简单曲线（直线、圆）的极坐标方程 概念：C:， 满足：（1）方程的解为坐标的点在C上 （2）点的至少一组坐标是方程的解 注：与普通方程的不同。 直线的方程： （1）过极点：和；或： （2）垂直或平行极轴：已知极点到直线的距离为： ； . 已知极点到直线距离为,极轴到垂线的角为，则. 圆的极坐标方程： 圆心在极点，半径为的圆方程是 过极点，圆心为的圆方程是（） 圆心在上且过极点，直径为的圆的极坐标方程 *P17探索与研究 圆锥曲线的极坐标方程（A版没提） 中，的几何意义。应用。 4、柱坐标系与球坐标系 柱坐标系：极坐标“空间化” 有序数组，其中——实现一一对应 （2）柱坐标与直角坐标互化 （3）最简单方程：（圆柱面）；（过z轴的半平面）；（垂直z轴的平面） ——三族坐标面 球坐标系：,角是在平面内的射影与x正半轴的夹角, 是与z轴正半轴夹角。其中 （1）互化： （2）最简方程：（球面）（过z轴的半平面），（圆锥面） *5、常见曲线的极坐标方程 P27，阿基米德螺线，心形线，双扭线。（A版没提） 6、从实例引入参数方程，并使学生了解参数的作用。明确参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。 7、在平面上取定直角坐标系，设有曲线C及方程 （*） 其中都是上的函数。如果曲线C与方程的解建立了如下的对应关系： 对于每一个适合条件，通过方程确定的点都在曲线C上； 对于曲线C上任一点，至少存在一个，使得 则方程（*）叫做曲线C在直角坐标系下的参数方程。 对同一条曲线，参数方程不惟一。 参数方程和普通方程的转化要强调转化过程的等价性。 8、直线的参数方程： 一般形式： (t为参数) 其中， 是直线的一个方向向量，动点M(x,y)到定点的距离是｜t｜. 标准形式： (t为参数) 其中，为倾斜角，t表示直线l上以定点为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量M0M。 关注何时用。应用要求不宜太高。 9、圆的参数方程：，是旋转角 10、圆锥曲线的参数方程 椭圆： 双曲线： 抛物线：， 注：A，B版的安排顺序不同。 11、摆线的参数方程、圆的渐开线的参数方程 注意体会摆线、渐开线上动点所满足的几何条件，会推导摆线、圆的渐开线的参数方程。可用几何画板。 课时分配建议 直角坐标系、平面上的伸缩变换 1课时 极坐标系 3课时 简单曲线（直线、圆）的极坐标方程 3课时 柱坐标系与球坐标系