选修2-1第二章选修2-1第二章.doc

空间向量与立体几何 从平面向量到空间向量 空间向量概念及相关概念 空间向量的概念 空间中，既有大小又有方向的量叫空间向量，与平面向量的差别：研究范围不同 表示方法：（1）用有向线段表示，如:(2)用小写字母表示，如： 空间向量的大小 表示空间向量的有向线段的大小叫向量的长度或向量的模，记作 空间向量的夹角 的夹角：记作 ，范围 ，注意：起点相同 向量与直线 方向向量： 向量与平面 法向量： 特殊向量 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 平行向量、方向向量、法向量的判断方法 判断两个向量是否平行：只需判断表示该向量的线段所在的直线是否平行或垂直 判断一个向量是否是一条直线的方向向量：只需判断表示该向量的线段所在的直线是否与该直线平行或重合 判断一个向量是否为已知平面的法向量：只需判断表示该向量的线段所在的直线与平面是否垂直 要求向量的夹角，先求直线的夹角 向量夹角为，若， 直线OA与OB的夹角设为，则=或 向量共面的证明 若一组向量平行于同一平面，则称这组向量共面，空间中任意两个向量都是共面的，只要证第三个向量也平行于这个平面即可。则只需证明表示这个向量的线段所在的直线平行于该平面。 空间向量的运算 空间向量的加减法 与平面向量类似：（1）向量加法：平行四边形法则：同起点 三角形法则：首尾相连 （2）向量减法：三角形法则：同起点，由减向量指向被减向量 空间向量的数乘 1、空间向量与一个实数的乘积是一个向量，记作，满足 当0时 当0时 数乘向量的运算律： 共线向量定理 空间中两个向量（）共线的充要条件是：存在唯一实数，使得 空间向量的数量积 空间向量的数量积： 空间向量数量积的运算律 利用空间向量的数量积可以得出的结论 线性运算技巧 1、 2、向量公式 （1）M为AB的中点，O为空间内任意一点，则有 (2)若,O为空间内任意一点，则有 (3)若G为的重心，O为空间内任意一点，则有 数量积深究 两个向量的数量积，其结果为数量而不是向量，数量积的正负由两向量夹角的余弦值决定； 数量积的书写只能用，而不能写为，更不能写为ab 向量数量积不满足消去律，即不能得出 向量数量积不满足结合律，即 空间向量没有除法，即，不能得出 数量积公式 利用向量证明垂直 ，由此可以证明立体几何中的垂直问题 要证明线线垂直：可以转化直线的方向向量的数量积为0 要证明线面垂直：可以转化为直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积分别为0，或者证明直线的方向向量与平面的法向量共线 要证明面面垂直：可转化为证明两个平面的法向量的数量积为0 用向量求夹角 由公式可求出向量的夹角 若求异面直线夹角异，只要先求出异面直线的方向向量的夹角，与相等或互补 空间向量的基本定理 空间向量的标准正交分解与坐标表示 定义： 坐标表示 空间向量基本定理 空间向量基本定理的内容 基底 空间三个不共面的向量，叫做这个空间的一个基底 空间任意三个不共面的向量都可以作为这个空间的一个基底 如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 建立空间坐标系的方法和原则 用坐标法解答立体几何时，第一步就是要建立适当的坐标系，若果坐标系建立的不恰当，直接导致计算量增大，增加解题难度 建系原则： 找相互垂直的三条直线，若图中没有的，也要添加辅助线 尽量保证坐标系的对称性 长方体和正方体，一般把整体放在第一象限 向量坐标的求法 向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 空间向量基本定理的推论 已知空间任意一点O和不共线的三点A、B、C（O、A、B、C不共面），则对于空间中的任意一点P，存在唯一一组实数x、y、z，使得 在上面推论中：若x+y+z=1，则A、B、C、P四点共面 空间向量运算的坐标表示 一、空间向量的坐标运算 1、坐标运算法则 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3， 两个常用结论 a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 空间向量长度与夹角的坐标表示 空间向量的长度 空间向量夹角的计算 用向量讨论垂直与平行 平行问题与垂直问题 设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量为 则有： 平行 垂直 求平面法向量的一般步骤 1、若找到平面的垂线，则垂线的方向向量就是平