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一类分数阶微分方程解的存在性 （数学与统计学院 09级数学与应用数学1班） 指导教师：陈攀峰 引言 就历史背景而言，分数阶的微分方程与整数阶微分方程.分数阶微分方程追溯到16世纪末，那时整数阶微积分还处于发展阶段，数学家们在书信来往时，彼此探讨过分数阶微分方程的相关问题.但由于当时理论基础的限制问题，有关的问题并未有人给出真正的解答.在之后的两个世纪中，经过许多数学家们的努力，终于做出了几种主要的分数阶.但是在理论形成的初期，由于还没有得到物理、力学等方面理论的支持，所以发展得非常缓慢.这种窘况一直持续到20世纪80年代初，有些数学家发现大自然中和诸多的科学技术中存在着许许多多的分数维的事实.由于分形几何和分形动力的研究要以此为基础，因此分数阶微分方程理论和应用等方面的研究才得以有迅速发展的情况. 近几十年来，分数阶微分方程更多的被用来描述光学和热学方面，控制技术和机器人及其他应用领域中的问题，特别是从实际问题中抽象出来的一类分数阶微分方程解的存在性更是成为很多国内外数学工作者的研究的热点方面. 本文对一类分数阶微分方程的初、边值问题讨论解的存在性的方法进行分类、整理、比较，分析归纳使用不同方法证明方程解的存在性，并给出在对应的方法下一类分数阶微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件. 利用分数阶导数所得到的微分方程不但十分简洁，而且利用它所得到的结果更接近实际情况，对解决一些实际模型中出现的问题提供了很大的帮助，在研究实际问题中起到的作用是非常巨大的. 1预备知识 定义1.1（Schauder不动点定理） 设是Banach空间的有界的闭子集，若为连续映射，则中存在不动点，也就是说满足的点是存在的. 定义1.2（Lipschitz条件） 设为距离空间，是从到的映射，若存在一个常数，使得对任意的, 那么就称是满足Lipschitz条件，是的Lipschitz常数.特别的，若，那么叫做压缩映射. 定义1.3（Banach压缩映像原理） 设为距离空间，为压缩映射，那么在中恰有一个不动点.设这个不动点为，那么对于任何的初始点，进行逐次迭代后，收敛于，且关于收敛速度有下面的估计式： 其中是的Lipschitz常数. 定义1.4（引理） 集合列紧的充分必要条件是为一致有界的等度连续集. 定义1.5 函数的阶的Riemann-Liouville积分是指 ， 其中是函数. 定义1.6 函数的阶的Riemann-Liouville微分是指 ， 其中是函数，，(其中表示小于的最大的整数). 定义1.7 如果, 则分数阶微分方程，存在唯一解为（其中为大于或等于的最小整数）.那么可知如果，, ,则 ， 其中为大于或等于的最小整数. 应用定义1.6得出下面的引理 若，且，分数阶微分方程 （） 的解可表示成，其中表示上述分数阶边值问题的函数 证明 由定义1.7及定义1.4可知 因为是大于或等于的最小整数，所以. 那么 ， . 由，所以 ， 故 . 推广 若对边值问题 .存在唯一解，其中 ， （其中且）. 注：为了使符号简化，本文把非整数阶阶导数简写成. 2 一类分数阶微分方程解的存在性 在证明常微分方程解的存在唯一性定理中，我们将常微分方程转化为等价积分形式，再构造皮卡迭代序列证明方程解的存在唯一性定理.由此联想到应用类似方法证明一类分数阶微分方程解的存在性. 2.1 化微分方程为等价积分方程证明一般形式的分数阶微分方程解的存在唯一性定理 考虑如下形式的微分方程： （1） （2） 其中，的定义域为平面上的一个子区域，且存在上的子区域满足： （3） 又知为上的连续实值函数，且在上关于满足Lipschitz条件，即 （4） 从而，对任意且，那么，方程在区域有唯一的连续解. 证明 第一步 化微分方程为等价的积分方程 对方程（1）按进行逐次分部积分可得： . （5） 第二步 证明上述等价积分方程解的存在性； 构造函数序列， ， （6） . （7） 首先，我们可以证明对任意的及任意的有. ，