矩阵的逆及其应用..docx

矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。逆矩阵的性质和定理逆矩阵的性质若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。若都是ｎ阶可逆矩阵，则也可逆，且＝.若A可逆，则也可逆，且=A；若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且=；若A可逆，则也可逆，且=；=；矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。逆矩阵的定理初等变换不改变矩阵的可逆性。ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等价。ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。逆矩阵的计算方法定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。求矩阵Ａ＝的逆矩阵。解：∵｜Ａ｜≠０∴存在设＝，由定义知，∴　由矩阵乘法得由矩阵相乘可解得；；故、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。②对于分块矩阵已知Ａ＝解：∵｜Ａ｜＝２≠０∴Ａ可逆，由已知得　　、行（列）初等变化法设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块Ａ变为，则子块将变为，即初等变换［Ｅ，］。注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。②也可以利用③当矩阵Ａ可逆时，可以利用求得仅通过初等变换，即求出了用初等行变换求矩阵Ａ＝的逆矩阵。解：＝→→、用分块矩阵求逆矩阵设Ａ、Ｂ分别为Ｐ、Ｑ阶可逆矩阵，则：＝已知Ａ＝，求。解：将Ａ分块如下：Ａ＝＝其中可求得＝解方程组求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由两端对应元素相等，依次可得　只含有一个待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。求Ａ＝的逆矩阵。解：设，先求出下的次对角线上的元素最后求，设Ｅ为４阶单位矩阵，比较的两端对应元素，得到０；１０１；于是，所求的逆矩阵为：、用克莱姆法则求解若线性方程组的系数行列式Ｄ＝，则此方程组有唯一的一组解，这里是将Ｄ中的第ｉ列换成得到的行列式。、恒等变形法求逆矩阵有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。、用Hamilton-Caley定理求逆矩阵Hamilton-Caley定理：设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶矩阵ｆ(λ)=| λＥ－Ａ|＝为Ａ的特征多项式，则：ｆ(A)=| λE-A|=+=0于是－因此、三角矩阵的一种求逆法如果ｎ阶矩阵Ｔ＝可逆，那么他的逆矩阵是T=其中、拼接新矩阵在可逆矩阵A的右方补上一个单位矩阵E，在A的下方补加上一个负单位矩阵-E，再在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-E化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所化得的矩阵就是所要求的那逆矩阵。矩阵的逆的应用逆矩阵在解线性方程组中的应用设用矩阵表示的方程组为ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ＝X= B=若A可逆→X=注：利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且矩阵A可逆，否则此法失效。而Gauss消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无穷多个解）。且Gauss消元法特别适合于计算机计算。逆矩阵在求矩阵的秩中的应用设A是m×n矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)n阶矩阵A的秩为n→|A|≠0→A可逆。逆矩阵在信息科学中的应算法的加密原理信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（||A||=n）,将明文转换为n维数向量X，然后将X与A相乘得到密文Y，既Y=AX，再将Y发送，信息端接受到Y后，则利用密钥矩阵。②加密通信模型基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应