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矩阵代数基本知识.
附录I 矩阵代数基本知识
矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具,这里针对本书的需要,对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍,其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。
一、 向量矩阵的定义
将个实数排成如下形式的矩形数表,记为
则称为阶矩阵,一般记为,称为矩阵的元素。当时,称为阶方阵;若,只有一列,称其为维列向量,记为
若,只有一行,称其为维行向量,记为
当为阶方阵,称为的对角线元素,其它元素称为非对角元素。若方阵的非对角元素全为,称为对角阵,记为
进一步,若,称为阶单位阵,记为或。
如果将阶矩阵的行与列彼此交换,得到的新矩阵是的矩阵,记为
称其为矩阵的转置矩阵。
若是方阵,且,则称为对称阵; 若方阵,当对一切元素,则称
为下三角阵;若为下三角阵,则称为上三角阵。
二、 矩阵的运算
1.对与的和定义为:
2.若为一常数,它与矩阵阶矩阵的积定义为:
3.若,,则与的积定义为:
根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算,容易验证下面运算规律:
1.加法满足结合律和交换律
2.乘法满足结合律
,
3.乘法和加法满足分配律
,
,
4.对转置运算规律
,
,
另外,若满足,则称为正交阵。
三、 矩阵分块
对于任意一个阶矩阵,可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵,也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵,称为分块矩阵,即:
写成
其中,, ,,且,。
分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明:
。
四、 方阵行列式的性质
一个阶方阵中的元素组成的行列式,称为方阵的行列式记为或。它有以下我们熟知的性质:
1.若的某行(或列)为零,则;
2.;
3.将的某行(或列)乘以数所得的矩阵的行列式等于;
4.若是一个阶方阵,为一常数,则
5.若的两行(或列)相同,则;
6.若将的两行(两列)互换所得矩阵的行列式等于;
7.若将的某一行(或列)乘上一个常数后加到另一行相应的元素上,所得的矩阵的行列式不变,仍等于;
8.若和均为阶方阵,则;
9.若为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵,则
10.
11.若和都是方阵,则
12.若和分别是和的矩阵,则
五、 逆矩阵
设为阶方阵,若,则称是非退化阵或称非奇异阵,若,则称是退化阵或称奇异阵。
若是阶非退化阵,则存在唯一的矩阵,使得,称为的逆矩阵,记为。 逆矩阵的基本性质如下:
1.
2.
3.若和均为阶非退化阵,则
4. 设为阶非退化阵,和为维列向量,则方程:
的解为
5.
6.若是正交阵,则
7.若是对角阵,且,,则。
8.若和非退化阵,则
9.设方阵的行列式分块为:
若,是方阵且是非退化,则
六、 矩阵的秩
设为阶矩阵,若存在它的一个阶子方阵的行列式不为零,而的一切阶子方阵的行列式均为零,则称的秩为,记作。它有如下基本性质:
1.,当且仅当;
2.若为阶矩阵,则;
3.;
4.;
5.;
6.若和为非退化阵,则。
七、 特征根和特征向量
设为阶方阵,则方程是的次多项式,由多项式理论知道必有个根(可以有重根),记为,…,,称为的特征根或称特征值。
若存在一个维向量,使得,则称为对应于的的特征向量。特征根有如下性质:
1.若为实数阵,则的特征根全为实数,故可按大小次序排列成,若,则相应的特征向量与必正交。
2.和有相同的特征根。
3.若与分别是与阶阵,则与有相同的非零特征根。
实际上,因为
所以
那么,两个关于的方程和有着完全相同的非零特征根(若有重根,则它们的重数也相同),从而和有相同的非零特征根。
4.若为三角阵(上三角或下三角),则的特征根为其对角元素。
5.若,…,是的特征根,可逆,则的特征根为,,…,。
6.若为阶的对称阵,则存在正交矩阵及对角矩阵 ,使得
实际上,将上式两边右乘,得
将按列向量分块,并记为,于是有
那么
,
这表明是的个特征根,而为
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